Questão de Raciocínio Lógico · FCC DPE-RS 2017 (nº 19)

Uma sequência numérica é uma lista de números em uma ordem definida. Uma regra de recorrência descreve como calcular um termo da sequência usando os termos que o precedem. O termo geral é uma fórmula que permite calcular diretamente qualquer termo da sequência, sem precisar conhecer os anteriores.

Para resolver a questão, primeiro identificamos a regra da sequência.
A sequência é (3, 5, 9, 11, 15, 17, ...).
Vamos calcular as diferenças entre termos consecutivos:
$a_2 - a_1 = 5 - 3 = 2$
$a_3 - a_2 = 9 - 5 = 4$
$a_4 - a_3 = 11 - 9 = 2$
$a_5 - a_4 = 15 - 11 = 4$
$a_6 - a_5 = 17 - 15 = 2$

Percebemos que a diferença entre os termos se alterna entre +2 e +4.
Ou seja, $a_{n+1} = a_n + 2$ se $n$ for ímpar, e $a_{n+1} = a_n + 4$ se $n$ for par.
A regra de recorrência mencionada no problema, "recorrente aos três termos imediatamente anteriores", pode ser expressa como $a_n = a_{n-1} + (a_{n-2} - a_{n-3})$ para $n \ge 4$. Isso implica que a diferença $a_n - a_{n-1}$ é igual à diferença $a_{n-2} - a_{n-3}$, o que confirma o padrão de diferenças (2, 4, 2, 4, ...).

Precisamos encontrar o 38º termo ($a_{38}$). Para isso, somamos o primeiro termo ($a_1$) com a soma de todas as diferenças até o 37º termo:
$a_{38} = a_1 + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \dots + (a_{38} - a_{37})$
$a_{38} = a_1 + \sum_{k=1}^{37} d_k$, onde $d_k$ é a $k$-ésima diferença ($a_{k+1} - a_k$).

A soma $\sum_{k=1}^{37} d_k$ contém 37 termos.
Os termos $d_k$ são 2 se $k$ é ímpar, e 4 se $k$ é par.
De 1 a 37:

• Há 19 números ímpares (1, 3, ..., 37). Portanto, 19 diferenças são iguais a 2.
• Há 18 números pares (2, 4, ..., 36). Portanto, 18 diferenças são iguais a 4.

A soma das diferenças é $(19 \times 2) + (18 \times 4) = 38 + 72 = 110$.
Finalmente, $a_{38} = a_1 + 110 = 3 + 110 = 113$.

(A) Incorreta: 119. A armadilha da banca: somar o total de acréscimos (110) ao terceiro termo da sequência ($a_3 = 9$), em vez de somar ao primeiro termo ($a_1 = 3$). Isso resultaria em $9 + 110 = 119$.
(B) Incorreta: 97. Este valor não corresponde ao padrão de acréscimos encontrado na sequência.
(C) Correta: O 38º termo é 113, calculado somando o primeiro termo (3) com a soma dos 37 acréscimos (110), que seguem o padrão alternado de +2 e +4.
(D) Incorreta: 135. Este valor não corresponde ao padrão de acréscimos encontrado na sequência.
(E) Incorreta: 141. Este valor não corresponde ao padrão de acréscimos encontrado na sequência.