Questão de Raciocínio Lógico · FCC DPE-RS 2017 (nº 18)

Proposições categóricas descrevem relações entre conjuntos (categorias) usando quantificadores como "todos", "alguns" e "nenhum". Para analisar a validade de argumentos com essas proposições, é útil visualizar as relações usando diagramas de Venn, onde cada círculo representa um conjunto e as sobreposições indicam intersecções.

Vamos definir os conjuntos:

• Q: Professores de Química
• F: Professores de Física
• M: Professores de Matemática

Agora, vamos traduzir as premissas:

1. "Em uma escola há professor de química que é professor de física, mas não todos."
   • Significa: (Q ∩ F ≠ Ø) E (Q \ F ≠ Ø). Ou seja, existe intersecção entre Q e F, mas nem todo professor de Química é de Física.
2. "Também há professor de matemática que é professor de física, mas não todos."
   • Significa: (M ∩ F ≠ Ø) E (M \ F ≠ Ø). Ou seja, existe intersecção entre M e F, mas nem todo professor de Matemática é de Física.
3. "Não há professor de matemática que seja professor de química."
   • Significa: M ∩ Q = Ø. Os conjuntos de professores de Matemática e Química são disjuntos (não há sobreposição).
4. "Não há professor de física que seja apenas professor de física."
   • Significa: F ⊆ (Q ∪ M). Todo professor de Física é também professor de Química OU professor de Matemática (ou ambos).

Combinando as premissas 3 e 4:
Como M e Q são disjuntos (M ∩ Q = Ø), e F está inteiramente contido na união de M e Q (F ⊆ (Q ∪ M)), isso implica que um professor de Física não pode ser simultaneamente de Química e de Matemática. Se um professor de Física é de Química, ele não pode ser de Matemática, e vice-versa. Ou seja, o conjunto F é dividido em duas partes disjuntas: F ∩ Q e F ∩ M.

Analisando as alternativas:

(A) Incorreta: Se "todos os professores de física são professores de química" (F ⊆ Q), então os professores de física que são de matemática (M ∩ F, que sabemos que existe pela premissa 2) teriam que ser também de química. Isso contradiz a premissa 3 (M ∩ Q = Ø), que afirma que não há professores que sejam de matemática e química ao mesmo tempo.

(B) Incorreta: A afirmação "qualquer professor de matemática é professor de química" significa que o conjunto de professores de matemática está contido no conjunto de professores de química (M ⊆ Q). Isso contradiz diretamente a premissa 3 (M ∩ Q = Ø), que estabelece que esses conjuntos são disjuntos.

(C) Incorreta: "Os professores de matemática que não são professores de química" se refere ao conjunto M \ Q. Como a premissa 3 afirma que M ∩ Q = Ø, então M \ Q é o próprio conjunto M. Assim, a alternativa se torna "todos os professores de matemática são professores de física" (M ⊆ F). Isso contradiz a premissa 2 (M \ F ≠ Ø), que diz que existem professores de matemática que não são de física.
Armadilha da banca: A armadilha aqui é a interpretação da parte "professores de matemática que não são professores de química". Se o aluno não percebe que, devido à premissa 3 (M ∩ Q = Ø), essa expressão se simplifica para "professores de matemática", ele pode se confundir. Ao simplificar corretamente, a alternativa se torna uma proposição universal que é diretamente negada por uma proposição existencial dada na premissa 2.

(D) Incorreta: A afirmação "há professores de química que são professores de matemática e de física" significa que existe uma intersecção entre os três conjuntos (Q ∩ M ∩ F ≠ Ø). Isso contradiz a premissa 3 (M ∩ Q = Ø), pois se não há professores que sejam de matemática e química, não pode haver professores que sejam das três disciplinas.

(E) Correta: A afirmação "qualquer professor de física que é professor de matemática, não é professor de química" significa que a intersecção entre os professores de Física e Matemática não tem sobreposição com os professores de Química. Em termos de conjuntos: (F ∩ M) ∩ Q = Ø. Como a premissa 3 já estabelece que M ∩ Q = Ø (não há professores que sejam de matemática e química), qualquer intersecção que inclua M e Q necessariamente será vazia. Portanto, essa afirmação é uma consequência lógica direta da premissa 3.