Questão de Matemática · FCC CBM-BA 2023 (nº 20)

Para resolver este problema, precisamos primeiro identificar o padrão de organização dos números na espiral e, em seguida, localizar o número 97. Depois, encontramos os números nos retângulos vizinhos (que compartilham um lado) e somamos seus valores.

1. Identificando o Padrão da Espiral e Localizando 97:
A espiral começa com 1 no centro (0,0) e se expande no sentido horário.

• 1 está em (0,0).
• A cada "camada" da espiral, os números aumentam.
• Os números $k^2$ seguem um padrão:
  • $1^2=1$ em (0,0)
  • $2^2=4$ em (1,0)
  • $3^2=9$ em (-1,1)
  • $4^2=16$ em (2,-1)
  • $5^2=25$ em (-2,2)
  • $6^2=36$ em (3,-2)
  • $7^2=49$ em (-3,3)
  • $8^2=64$ em (4,-3)
  • $9^2=81$ em (-4,4)
  • $10^2=100$ em (5,-4)
  • $11^2=121$ em (-5,5)

O número 97 está entre 81 e 100.
Vamos traçar a espiral a partir de 81:

• 81 está em (-4,4). A espiral segue no sentido horário.
• Descendo pela lateral esquerda:
  • 81: (-4,4)
  • 82: (-4,3)
  • 83: (-4,2)
  • 84: (-4,1)
  • 85: (-4,0)
  • 86: (-4,-1)
  • 87: (-4,-2)
  • 88: (-4,-3)
  • 89: (-4,-4) (canto inferior esquerdo do quadrado 9x9)
• Seguindo para a direita pela lateral inferior:
  • 90: (-3,-4)
  • 91: (-2,-4)
  • 92: (-1,-4)
  • 93: (0,-4)
  • 94: (1,-4)
  • 95: (2,-4)
  • 96: (3,-4)
  • 97: (4,-4) (canto inferior direito do quadrado 9x9)

Portanto, o número 97 está na posição (4,-4).

2. Encontrando os Vizinhos de 97:
Os vizinhos de um número em (x,y) são os números nas posições (x, y+1), (x, y-1), (x-1, y) e (x+1, y).
Para 97 em (4,-4):

• Vizinho acima: (4,-3). A espiral continua de 97 para cima: 98 está em (4,-3).
• Vizinho à esquerda: (3,-4). A espiral veio de 96 para 97: 96 está em (3,-4).
• Vizinho à direita: (5,-4). Este é o número $10^2 = 100$.
• Vizinho abaixo: (4,-5). Este número está na camada externa (quadrado 11x11), que contém números de 82 a 121.
  • $10^2=100$ está em (5,-4).
  • $101$ está em (5,-5) (canto inferior direito do quadrado 11x11).
  • A espiral continua para a esquerda na lateral inferior: $102$ está em (4,-5).

Os números vizinhos de 97 são: 98, 96, 100, 102.

3. Calculando a Soma:
Soma = $98 + 96 + 100 + 102 = 396$.

Conclusão sobre o Gabarito:
Com base na interpretação padrão da organização numérica mostrada na figura, a soma dos vizinhos de 97 é 396. Como 396 não é uma das alternativas e o gabarito oficial indica D) 193, é provável que haja um erro na questão (no número 97) ou nas alternativas. No entanto, seguindo a instrução de explicar o gabarito oficial:

(D) Correta: A soma dos números vizinhos ao retângulo em que está o número 97 é 193. Armadilha da banca: A soma calculada a partir da interpretação padrão da espiral (396) não corresponde a nenhuma das alternativas, e muito menos ao gabarito 193. Isso sugere que o número 97 na questão pode ser um erro de digitação, e o problema talvez se refira a outro número. Por exemplo, se a questão fosse sobre o número 47, seus vizinhos seriam 48, 23, 46 e 78, cuja soma é 195 (próximo a 193). Se fosse sobre o número 46, seus vizinhos seriam 47, 22, 45 e 77, cuja soma é 191 (também próximo a 193). Para o número 97, a única forma de obter 193 seria se seus vizinhos fossem muito menores, o que contradiz a lógica de uma espiral crescente. Portanto, o valor 193 para o número 97 não pode ser obtido com a lógica da espiral apresentada.

(A) Incorreta: A soma calculada para os vizinhos de 97 é 396, não 190.
(B) Incorreta: A soma calculada para os vizinhos de 97 é 396, não 194.
(C) Incorreta: A soma calculada para os vizinhos de 97 é 396, não 192.
(E) Incorreta: A soma calculada para os vizinhos de 97 é 396, não 195.