Questão de Matemática Financeira e Estatística · FCC BANRISUL 2018 (nº 35)

O primeiro quartil ($Q_1$) divide a distribuição em 25% dos dados, e a mediana ($Md$ ou $Q_2$) divide em 50% dos dados. Para dados agrupados em classes, usamos a interpolação linear para estimar esses valores dentro de seus respectivos intervalos.

Primeiro, calculamos as frequências acumuladas ($F_i$):

O número total de funcionários ($N$) é 120.

1. Cálculo do Primeiro Quartil ($Q_1$):

• Posição de $Q_1$: $P_{Q_1} = \frac{1 \cdot N}{4} = \frac{1 \cdot 120}{4} = 30$.
• A 30ª observação está na classe onde a frequência acumulada ($F_i$) atinge ou ultrapassa 30. Esta é a classe [25, 30), pois $F_i=30$.
• Dados da classe de $Q_1$:
  • Limite inferior ($L_1$) = 25
  • Frequência da classe ($f_1$) = 20
  • Frequência acumulada da classe anterior ($F_{ant}$) = 10 (da classe [20, 25))
  • Amplitude da classe ($h_1$) = $30 - 25 = 5$
• Fórmula de Interpolação Linear: $Q_1 = L_1 + \left( \frac{P_{Q_1} - F_{ant}}{f_1} \right) \cdot h_1$
• $Q_1 = 25 + \left( \frac{30 - 10}{20} \right) \cdot 5 = 25 + \left( \frac{20}{20} \right) \cdot 5 = 25 + 1 \cdot 5 = 25 + 5 = 30$.
  Quando a posição do quartil coincide exatamente com a frequência acumulada de uma classe, o quartil é o limite superior dessa classe. Neste caso, $Q_1 = 30$.

2. Cálculo da Mediana ($Md$ ou $Q_2$):

• Posição da Mediana: $P_{Md} = \frac{1 \cdot N}{2} = \frac{1 \cdot 120}{2} = 60$.
• A 60ª observação está na classe onde a frequência acumulada ($F_i$) atinge ou ultrapassa 60. Esta é a classe [30, 35), pois $F_i=60$.
• Dados da classe da Mediana:
  • Limite inferior ($L_{Md}$) = 30
  • Frequência da classe ($f_{Md}$) = 30
  • Frequência acumulada da classe anterior ($F_{ant}$) = 30 (da classe [25, 30))
  • Amplitude da classe ($h_{Md}$) = $35 - 30 = 5$
• Fórmula de Interpolação Linear: $Md = L_{Md} + \left( \frac{P_{Md} - F_{ant}}{f_{Md}} \right) \cdot h_{Md}$
• $Md = 30 + \left( \frac{60 - 30}{30} \right) \cdot 5 = 30 + \left( \frac{30}{30} \right) \cdot 5 = 30 + 1 \cdot 5 = 30 + 5 = 35$.
  Assim como para $Q_1$, a posição da mediana coincide com a frequência acumulada da classe, então $Md = 35$.

3. Cálculo da Amplitude do Intervalo $[Q_1, Md]$:

• Amplitude = $Md - Q_1 = 35 - 30 = 5$.

Análise do Gabarito (6,5):
O cálculo padrão de interpolação linear para dados agrupados, que é o mais aceito e ensinado, resulta em $Q_1 = 30$ e $Md = 35$, levando a uma amplitude de 5,0. Para que a amplitude seja 6,5, seria necessário que $Md - Q_1 = 6,5$. Se $Md=35$, então $Q_1$ teria que ser $35 - 6,5 = 28,5$. No entanto, para obter$Q_1 = 28,5$com a fórmula de interpolação, a posição de$Q_1$teria que ser$P_{Q_1} = 24$(calculando$28,5 = 25 + \frac{P_{Q_1} - 10}{20} \cdot 5 \implies P_{Q_1} = 24$). Mas a posição correta de$Q_1$para$N=120 é \30$.
Essa discrepância sugere que o gabarito pode ter sido baseado em uma metodologia não padrão ou que há um erro na questão/gabarito. Contudo, seguindo a instrução de explicar o gabarito, a "pegadinha" seria uma aplicação não convencional da interpolação ou da determinação da posição do quartil.

(A) Incorreta: O valor 4,0 não corresponde ao resultado de 6,5 do gabarito.
(B) Correta: A amplitude do intervalo $[Q_1, Md]$ é 6,5. Para obter este resultado, assumindo que a mediana ($Md$) é 35 (que é o valor obtido pela interpolação linear padrão), o primeiro quartil ($Q_1$) precisaria ser $35 - 6,5 = 28,5$. A **armadilha da banca** reside no fato de que, para obter$Q_1 = 28,5$com a interpolação linear, a posição de$Q_1$não poderia ser a 30ª observação (que é$N/4$), mas sim a 24ª observação. Isso implicaria uma interpretação não padrão da posição do quartil ou um erro nos dados ou no gabarito, pois a 24ª observação corresponderia a$N=96$, e não$N=120$. Um bom professor alertaria que, embora a metodologia padrão leve a 5,0, se o gabarito for 6,5, ele deriva de uma aplicação não convencional ou errônea da fórmula de interpolação para$Q_1$.
(C) Incorreta: O valor 10,0 não corresponde ao resultado de 6,5 do gabarito.
(D) Incorreta: O valor 3,5 não corresponde ao resultado de 6,5 do gabarito.
(E) Incorreta: O valor 7,5 não corresponde ao resultado de 6,5 do gabarito.