Questão de Matemática Financeira e Estatística · FCC BANRISUL 2018 (nº 26)

Para formar grupos onde a ordem não importa, usamos combinações. A fórmula para calcular o número de combinações de $n$ itens tomados $k$ a $k$ é $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

• (A) Incorreta: Este valor (20) é obtido se considerarmos apenas os casos em que Ana está na comissão (e Beatriz não) OU Beatriz está na comissão (e Ana não). Ou seja, $C(5,2) + C(5,2) = 10 + 10 = 20$. A armadilha da banca aqui é levar o aluno a esquecer o terceiro caso, onde nem Ana nem Beatriz fazem parte da comissão, mas a condição "não estarem juntas" ainda é satisfeita.
• (B) Incorreta: Não há um cálculo direto comum que resulte em 15 para este tipo de problema.
• (C) Correta: Para resolver, podemos usar o método do complemento: calcular o total de comissões possíveis e subtrair as comissões indesejadas (onde Ana e Beatriz estão juntas).
  1. Total de comissões de 3 pessoas de 7: $C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
  2. Comissões onde Ana e Beatriz estão juntas: Se Ana e Beatriz já estão na comissão, sobram 1 vaga para ser preenchida por 1 pessoa das $7 - 2 = 5$pessoas restantes.$C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$.
  3. Comissões onde Ana e Beatriz NÃO estão juntas: Total - (Ana e Beatriz juntas) = $35 - 5 = 30$.
     Alternativamente, podemos somar os casos em que a condição é satisfeita:
  • Ana está, Beatriz não está: Escolhemos Ana, excluímos Beatriz. Precisamos de 2 pessoas dos 5 restantes. $C(5,2) = 10$.
  • Beatriz está, Ana não está: Escolhemos Beatriz, excluímos Ana. Precisamos de 2 pessoas dos 5 restantes. $C(5,2) = 10$.
  • Nem Ana nem Beatriz estão: Excluímos Ana e Beatriz. Precisamos de 3 pessoas dos 5 restantes. $C(5,3) = 10$.
    Somando os casos: $10 + 10 + 10 = 30$.
• (D) Incorreta: Não há um cálculo direto comum que resulte em 18 para este tipo de problema.
• (E) Incorreta: Este valor (25) poderia ser obtido se alguém calculasse o total de comissões ($C(7,3)=35$) e subtraísse as comissões onde nem Ana nem Beatriz estão ($C(5,3)=10$). O resultado $35-10=25$ representaria as comissões onde Ana ou Beatriz (ou ambas) estão presentes, o que não é a condição pedida.