Questão de Raciocínio Lógico · FCC ALAP 2019 (nº 6)

O Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle) afirma que se você tem mais "itens" do que "lugares" para guardá-los, então pelo menos um lugar terá que guardar mais de um item. Uma versão mais útil para problemas como este é: se você distribui $N$ itens em $K$ lugares, então necessariamente pelo menos um lugar terá que ter, no mínimo, a média dos itens arredondada para cima. Ou seja, pelo menos um lugar terá $\lceil N/K \rceil$ itens, onde $\lceil x \rceil$ significa "arredondar $x$ para o próximo número inteiro maior ou igual a $x$".

Neste problema, temos $N = 500$ bexigas (itens) e $K = 24$ amigos (lugares).
Calculamos a média: $500 \div 24 = 20,833...$
Arredondando para cima: $\lceil 20,833... \rceil = 21$.
Portanto, pelo menos um dos amigos encheu, no mínimo, 21 bexigas.

• (A) Incorreta: Não é necessariamente verdade; é possível que todos os amigos tenham enchido uma quantidade ímpar de bexigas (ex: 23 amigos enchem 21 bexigas cada = 483; o último amigo enche 17 bexigas; todos são ímpares).
• (B) Incorreta: Não é necessariamente verdade; pode ser que um amigo tenha enchido 30 bexigas, por exemplo, e os outros menos.
• (C) Correta: Se todos os amigos tivessem enchido, no máximo, 20 bexigas (ou seja, menos de 21), o total de bexigas seria, no máximo, $24 \times 20 = 480$. Como foram enchidas 500 bexigas ($500 > 480$), é impossível que todos tenham enchido 20 ou menos. Logo, pelo menos um amigo deve ter enchido 21 ou mais bexigas.
• (D) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. Não é garantido que cada um dos amigos encheu no mínimo 20 bexigas. O princípio garante que pelo menos um amigo atingiu o mínimo calculado. É possível que alguns amigos tenham enchido menos de 20 bexigas, desde que outros tenham compensado enchendo mais. Por exemplo, um amigo enche 10 bexigas, e os outros 23 amigos dividem as 490 restantes, o que é possível.
• (E) Incorreta: Não é necessariamente verdade; é possível que todos os amigos tenham enchido 20 ou mais bexigas (ex: 20 amigos enchem 21 bexigas cada = 420; 4 amigos enchem 20 bexigas cada = 80; total = 500). Neste caso, ninguém encheu "no máximo 19".