Questão nº 44
Questão de Matemática Financeira · CESGRANRIO Transpetro PSP-RH-2016.1 (nº 44)
Uma empresa faz um empréstimo no valor de R$ 200.000,00, a uma taxa de 15% ao ano, para ser pago em 5 prestações anuais e iguais, de acordo com o sistema francês de amortização, vencendo a primeira prestação 1 ano após a data do empréstimo. A Tabela abaixo é parte da planilha de amortização apresentada pelo credor.
Para avaliar o total de juros que serão pagos nesse financiamento, um auditor completa a planilha até o final, de modo que o saldo devedor seja zero.
O total de juros, em milhares de reais, que serão pagos pela empresa, se todas as prestações forem quitadas de acordo com o planejado, pertence ao intervalo:
- A50,1 a 65,0
- B65,1 a 80,0
- C80,1 a 95,0
- D95,1 a 110,0 (alternativa correta)
- E110,1 a 125,0
Resposta comentada
Gabarito Alternativa D
Conceito-chave: No Sistema Francês (Price), as prestações são constantes, mas a composição entre juros (calculados sobre o saldo devedor) e amortização (que reduz a dívida) muda a cada parcela. O total de juros é a diferença entre o total pago (prestação × nº de parcelas) e o valor do empréstimo.
Resolução:
Taxa anual (i = 15% = 0,15), (n = 5), (VP = 200.000).
Prestação: (PMT = VP \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1} = 200.000 \cdot \frac{0,15(1,15)^5}{(1,15)^5 - 1}).
((1,15)^5 \approx 2,011357).
(PMT \approx 200.000 \cdot \frac{0,15 \times 2,011357}{1,011357} \approx 200.000 \cdot 0,298315 \approx 59.663).
Total pago: (5 \times 59.663 = 298.315).
Total de juros: (298.315 - 200.000 = 98.315) reais = 98,315 milhares → intervalo 95,1 a 110,0.
- (A) Incorreta: 50,1 a 65,0 é muito baixo; o total de juros seria inferior a 1/3 do valor financiado, impossível com taxa de 15% a.a. em 5 anos (o montante de juros acumulados supera isso).
- (B) Incorreta: 65,1 a 80,0 ainda subestima os juros; para chegar a esse valor, a prestação seria menor que a correta, o que não quita a dívida no prazo.
- (C) Incorreta: 80,1 a 95,0 é próximo, mas o cálculo exato com a fórmula Price dá juros de ~98,3 mil, acima desse teto.
- (D) Correta: O total de juros é 98,315 milhares, que pertence ao intervalo 95,1 a 110,0 (cálculo acima).
- (E) Incorreta: 110,1 a 125,0 superestima; exigiria prestação maior que a calculada, o que não ocorre com a taxa e prazo dados.
Armadilha do distrator (C): O aluno que calcula apenas os juros do primeiro ano (15% de 200.000 = 30.000) e multiplica por 5 (150.000) erra. Ou que usa a tabela parcial e soma apenas os juros visíveis, sem completar a planilha, obtém valor abaixo de 95. A banca testa se o candidato entende que os juros decrescem ao longo do tempo, mas o total correto exige o cálculo da prestação constante e a subtração do principal.
Fonte: CESGRANRIO Transpetro PSP-RH-2016.1 Auditor(a) Júnior. Reproduzida para fins de estudo.