Questão de Matemática · CESGRANRIO Liquigás PSP 01/2018 (nº 12)

Conceito-chave: Quando um problema diz “o restante”, ele quer dizer que primeiro você usa as notas de R$ 10 e R$ 20, e o que sobrar do total (R$ 2.700) é dividido por 50. A “pegadinha” é esquecer que a quantidade de notas de R$ 10 deve ser um número inteiro positivo, pois não existe “meia nota”.

• (A) Incorreta: Se você testar 12 notas de R$ 50 (R$ 600), sobram R$ 2.100 para as notas de 10 e 20. Chamando de $x$ as notas de 10, temos $10x + 20 \cdot 20x = 410x = 2100$, que dá $x \approx 5,12$, ou seja, não é inteiro — impossível.
• (B) Correta: Seja $x$ a quantidade de notas de R$ 10 (com $x>0$ inteiro). Então há $20x notas de R\ 20. O valor em notas de 10 e 20 é $10x + 20 \cdot 20x = 10x + 400x = 410x$. O restante em notas de 50 é $2700 - 410x$, que deve ser múltiplo de 50. Testando $x=1$: $2700-410=2290$(não múltiplo de 50);$x=2: \2700-820=1880$(não);$x=3: \2700-1230=1470$(não);$x=4: \2700-1640=1060$(não);$x=5: \2700-2050=650 → \650/50 = 13 notas de R\ 50. Como $x=5$ é o único inteiro positivo que funciona (e $x=6$ daria $2700-2460=240$, que não é múltiplo de 50), o número de notas de 50 é 13.
• (C) Incorreta: 14 notas de R$ 50 dão R$ 700; sobram R$ 2.000, que dividido por 410 não dá inteiro ($x \approx 4,88$), então não satisfaz a condição de quantidade inteira de notas de 10.
• (D) Incorreta: 15 notas de R$ 50 dão R$ 750; sobram R$ 1.950, que dividido por 410 dá $x \approx 4,76$, não inteiro — inválido.
• (E) Incorreta: 16 notas de R$ 50 dão R$ 800; sobram R$ 1.900, que dividido por 410 dá $x \approx 4,63$, não inteiro — inválido. Armadilha da banca: muitos alunos chutam valores grandes de notas de 50 sem verificar se o resto é divisível por 410 (o valor combinado de cada “pacote” de 1 nota de 10 + 20 notas de 20).