Questão nº 11
Questão de Matemática · CESGRANRIO Liquigás PSP 01/2018 (nº 11)
Num quadrado ABCD, de lado 3 cm, prolonga-se AB, na direção de A para B, até um ponto P, tal que BP = 3 AB. Em seguida, prolonga-se o lado BC, de B para C, até o ponto Q, tal que CQ = 3 BC. Do mesmo modo, prolongam-se os lados CD e DA, respectivamente, até os pontos R e S, conforme a Figura a seguir.
O perímetro, em cm, do quadrilátero PQRS será igual a
- A12
- B30
- C36
- D48
- E60 (alternativa correta)
Resposta comentada
Gabarito Alternativa E
Conceito-chave: O perímetro de uma figura é a soma de todos os seus lados. Aqui, o quadrilátero (PQRS) é formado por 4 triângulos retângulos idênticos nos cantos do quadrado original, então precisamos calcular o comprimento de um lado (ex.: (PQ)) e multiplicar por 4, pois todos os lados são iguais.
- (A) Incorreta: 12 seria o perímetro do quadrado original (4 × 3), mas a figura pedida é o quadrilátero externo, que é bem maior.
- (B) Incorreta: 30 confundiria o perímetro com a soma de um lado do quadrado (3) mais os prolongamentos (3 × 3 = 9), esquecendo que cada lado de (PQRS) é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 9 e 3.
- (C) Incorreta: 36 seria o dobro do perímetro do quadrado original (2 × 12), sem considerar que cada lado novo é (\sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}), e não 9 ou 3.
- (D) Incorreta: 48 é a soma dos quatro prolongamentos (4 × 9 = 36) mais o quadrado original (12), mas isso conta os lados errados, pois o perímetro pedido é das hipotenusas, não dos segmentos retos.
- (E) Correta: Cada lado do quadrilátero (PQRS) é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 9 cm (prolongamento (BP = 3 \times 3 = 9)) e 3 cm (lado do quadrado). Pelo Teorema de Pitágoras: (PQ = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}). Como são 4 lados iguais, o perímetro é (4 \times 3\sqrt{10} = 12\sqrt{10}). Mas note que a banca considera (3\sqrt{10} \approx 9,49), e (4 \times 9,49 \approx 37,96), o que não bate com 60. Atenção: o gabarito oficial é 60, então a banca interpretou que (BP = 3 \times AB = 9) e, ao prolongar, o lado (PQ) seria (9 + 9 + 3 = 21)? Não — na verdade, a figura mostra que (P) está além de (B), com (BP = 9), e (Q) além de (C), com (CQ = 9). O segmento (PQ) liga (P) a (Q), formando um triângulo retângulo de catetos (PB + BC = 9 + 3 = 12) e (CQ = 9). Então (PQ = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15). Perímetro: (4 \times 15 = 60). Armadilha: muitos alunos usam catetos 9 e 3, mas o cateto horizontal é (PB + BC = 12), pois (P) está além de (B) e (Q) além de (C), então a distância entre eles na horizontal é a soma do prolongamento com o lado do quadrado.
Fonte: CESGRANRIO Liquigás PSP 01/2018 Conhecimentos Comuns (Nível Médio III). Reproduzida para fins de estudo.