Questão de Raciocínio Lógico · FGV TRF1 2024 (nº 25)

Uma equação diofantina é uma equação onde buscamos soluções que são números inteiros. Neste problema, precisamos encontrar quantos pacotes de 6 kg ($x$) e quantos de 11 kg ($y$) somam 190 kg, ou seja, $6x + 11y = 190$, com$x$e$y$sendo números inteiros não negativos. Para encontrar o menor número total de embalagens ($x+y$), devemos priorizar as embalagens mais pesadas (11 kg), pois elas contribuem mais para o peso total, exigindo menos unidades no geral.

• A) Incorreta: Se tentarmos obter 19 embalagens no total, ou seja, $x+y=19$, substituindo $x=19-y$ na equação principal ($6(19-y) + 11y = 190), chegamos a \114 + 5y = 190, o que resulta em \5y = 76. Como \76undefined5$, não há solução inteira para$y$, tornando 19 embalagens impossível. Esta é a armadilha da banca, pois é um número muito próximo da resposta correta e pode induzir a erro por tentativa e erro ou arredondamento.
• (B) Correta: Para encontrar o menor número de embalagens ($x+y$), maximizamos o número de embalagens de 11 kg ($y$). O valor máximo possível para $y$ é $\lfloor 190/11 \rfloor = 17$. Testamos os valores de $y$ a partir de 17, verificando se $190 - 11y$ é divisível por 6 (para encontrar $x$ inteiro):
  • Se $y=17$: $6x = 190 - 11(17) = 190 - 187 = 3$.$x = 0.5$ (não é inteiro).
  • Se $y=16$: $6x = 190 - 11(16) = 190 - 176 = 14$.$x = 14/6$ (não é inteiro).
  • Se $y=15$: $6x = 190 - 11(15) = 190 - 165 = 25$.$x = 25/6$ (não é inteiro).
  • Se $y=14$: $6x = 190 - 11(14) = 190 - 154 = 36$.$x = 36/6 = 6$(é inteiro!). A primeira solução inteira válida é$x=6$e$y=14$. O número total de embalagens é$x+y = 6+14 = 20$. Como começamos do maior$y$ possível, esta é a solução que minimiza o total de embalagens.
• C) Incorreta: 21 não é o menor número possível de embalagens, pois já encontramos uma solução válida com 20 embalagens.
• D) Incorreta: 22 não é o menor número possível de embalagens.
• E) Incorreta: 23 não é o menor número possível de embalagens. Outras soluções para a equação, como $x=17, y=8$ (total de 25 embalagens) ou $x=28, y=2$ (total de 30 embalagens), resultam em um número maior de embalagens.