Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-TO 2022 (nº 42)

Para analisar estruturas hiperestáticas (aquelas com mais reações ou forças internas do que equações de equilíbrio disponíveis), utilizamos métodos como o Método das Deformações (Slope-Deflection Method). Este método relaciona os momentos nas extremidades dos membros com as rotações e deslocamentos dos nós.

Passos para a resolução pelo Método das Deformações:

1. Identificar graus de liberdade e condições de contorno:

   • A é um apoio fixo: $\theta_A = 0$.
   • B é um apoio de rolo (ou rolamento): $M_B = 0$ (não resiste a momento) e permite rotação $\theta_B \neq 0$. Como o rolo está no chão, ele impede deslocamento vertical, mas permite deslocamento horizontal.
   • C é um nó rígido: $\theta_C \neq 0$.
   • Sway (deslocamento horizontal): A estrutura pode sofrer deslocamento horizontal ($\Delta$) devido à assimetria da carga e da geometria. A barra AC é vertical e a barra CB é horizontal. Se o nó C se deslocar horizontalmente de $\Delta$, a barra AC sofrerá um deslocamento relativo $\Delta$. A barra CB, sendo horizontal e conectada a um rolo que permite movimento horizontal, também se deslocará de $\Delta$ horizontalmente, mas não haverá deslocamento relativo perpendicular ao seu eixo.

2. Calcular os Momentos de Engastamento Perfeito (MEP):

   • Barra AC (vertical, $L=6 \text{ m}$, carga distribuída $w=10 \text{ kN/m}$):
     • $MEP_{AC} = -\frac{wL^2}{12} = -\frac{10 \times 6^2}{12} = -30 \text{ kN.m}$ (sentido horário)
     • $MEP_{CA} = +\frac{wL^2}{12} = +\frac{10 \times 6^2}{12} = +30 \text{ kN.m}$ (sentido anti-horário)
   • Barra CB (horizontal, $L=4 \text{ m}$, carga concentrada $P=24 \text{ kN}$ no meio):
     • $MEP_{CB} = -\frac{PL}{8} = -\frac{24 \times 4}{8} = -12 \text{ kN.m}$ (sentido horário)
     • $MEP_{BC} = +\frac{PL}{8} = +\frac{24 \times 4}{8} = +12 \text{ kN.m}$ (sentido anti-horário)

3. Escrever as Equações do Método das Deformações:
   A fórmula geral é $M_{ij} = \frac{2EI}{L_{ij}}(2\theta_i + \theta_j - 3\frac{\Delta}{L_{ij}}) + MEP_{ij}$.
   Considerando $EI$ constante para todas as barras.

   • Barra AC ($L=6 \text{ m}$):

     • $M_{AC} = \frac{2EI}{6}(2\theta_A + \theta_C - 3\frac{\Delta}{6}) + MEP_{AC}$
       Como $\theta_A = 0$: $M_{AC} = \frac{EI}{3}(\theta_C - \frac{\Delta}{2}) - 30$
     • $M_{CA} = \frac{2EI}{6}(2\theta_C + \theta_A - 3\frac{\Delta}{6}) + MEP_{CA}$
       Como $\theta_A = 0$: $M_{CA} = \frac{EI}{3}(2\theta_C - \frac{\Delta}{2}) + 30$

   • Barra CB ($L=4 \text{ m}$):

     • $M_{CB} = \frac{2EI}{4}(2\theta_C + \theta_B - 3\frac{0}{4}) + MEP_{CB}$
       $M_{CB} = \frac{EI}{2}(2\theta_C + \theta_B) - 12$
     • $M_{BC} = \frac{2EI}{4}(2\theta_B + \theta_C - 3\frac{0}{4}) + MEP_{BC}$
       M_{BC} = \frac{EI}{2}(2\theta_B + \theta_C) + 12\

4. Escrever as Equações de Equilíbrio:

   • Equilíbrio de momento no nó C: $\sum M_C = 0 \Rightarrow M_{CA} + M_{CB} = 0$
     $\frac{EI}{3}(2\theta_C - \frac{\Delta}{2}) + 30 + \frac{EI}{2}(2\theta_C + \theta_B) - 12 = 0$
     $EI(\frac{2}{3}\theta_C - \frac{1}{6}\Delta + \theta_C + \frac{1}{2}\theta_B) + 18 = 0$
     $EI(\frac{5}{3}\theta_C + \frac{1}{2}\theta_B - \frac{1}{6}\Delta) + 18 = 0$ (Eq. 1)

   • Momento no apoio B: $M_{BC} = 0$ (condição de apoio de rolo)
     $\frac{EI}{2}(2\theta_B + \theta_C) + 12 = 0$
     $EI(\theta_B + \frac{1}{2}\theta_C) + 12 = 0$ (Eq. 2)

   • Equilíbrio de forças horizontais (Sway Equation): $\sum F_x = 0$
     A reação horizontal em B é zero ($R_{Bx}=0$) para um apoio de rolo. Portanto, a reação horizontal em A ($R_{Ax}$) também deve ser zero.
     A força de cisalhamento horizontal na barra AC é $V_{AC} = \frac{M_{AC} + M_{CA}}{L_{AC}}$.
     Então, $R_{Ax} = V_{AC} = 0 \Rightarrow M_{AC} + M_{CA} = 0$.
     $(\frac{EI}{3}(\theta_C - \frac{\Delta}{2}) - 30) + (\frac{EI}{3}(2\theta_C - \frac{\Delta}{2}) + 30) = 0$
     $\frac{EI}{3}(\theta_C - \frac{\Delta}{2} + 2\theta_C - \frac{\Delta}{2}) = 0$
     $\frac{EI}{3}(3\theta_C - \Delta) = 0 \Rightarrow 3\theta_C - \Delta = 0 \Rightarrow \Delta = 3\theta_C$ (Eq. 3)

5. Resolver o sistema de equações:
   Substituindo Eq. 3 em Eq. 1:
   $EI(\frac{5}{3}\theta_C + \frac{1}{2}\theta_B - \frac{1}{6}(3\theta_C)) + 18 = 0$
   $EI(\frac{5}{3}\theta_C + \frac{1}{2}\theta_B - \frac{1}{2}\theta_C) + 18 = 0$
   $EI(\frac{7}{6}\theta_C + \frac{1}{2}\theta_B) + 18 = 0$ (Eq. 1')

   Agora temos um sistema de duas equações (Eq. 1' e Eq. 2) com duas incógnitas ($\theta_B, \theta_C$):
   1') EI(\frac{7}{6}\theta_C + \frac{1}{2}\theta_B) = -18\
   2) $EI(\frac{1}{2}\theta_C + \theta_B) = -12$

   Da Eq. 2: $\theta_B = -\frac{12}{EI} - \frac{1}{2}\theta_C$
   Substituindo em Eq. 1':
   $EI(\frac{7}{6}\theta_C + \frac{1}{2}(-\frac{12}{EI} - \frac{1}{2}\theta_C)) = -18$
   $EI(\frac{7}{6}\theta_C - \frac{6}{EI} - \frac{1}{4}\theta_C) = -18$
   $EI(\frac{14-3}{12}\theta_C) - 6 = -18$
   $EI(\frac{11}{12}\theta_C) = -12 \Rightarrow \theta_C = -\frac{144}{11EI}$

   Encontrando $\theta_B$:
   $\theta_B = -\frac{12}{EI} - \frac{1}{2}(-\frac{144}{11EI}) = -\frac{12}{EI} + \frac{72}{11EI} = \frac{-132 + 72}{11EI} = -\frac{60}{11EI}$

   Encontrando $\Delta$:
   \Delta = 3\theta_C = 3(-\frac{144}{11EI}) = -\frac{432}{11EI}\

6. Calcular os momentos finais:

   • Momento no ponto C da barra AC ($M_{CA}$):
     $M_{CA} = \frac{EI}{3}(2\theta_C - \frac{\Delta}{2}) + 30 = \frac{EI}{3}(2(-\frac{144}{11EI}) - \frac{1}{2}(-\frac{432}{11EI})) + 30$
     $M_{CA} = \frac{EI}{3}(-\frac{288}{11EI} + \frac{216}{11EI}) + 30 = \frac{EI}{3}(-\frac{72}{11EI}) + 30 = -\frac{24}{11} + 30 = \frac{-24 + 330}{11} = \frac{306}{11} \approx 27.82 \text{ kN.m}$

   • Momento no ponto C da barra CB ($M_{CB}$):
     $M_{CB} = \frac{EI}{2}(2\theta_C + \theta_B) - 12 = \frac{EI}{2}(2(-\frac{144}{11EI}) + (-\frac{60}{11EI})) - 12$
     $M_{CB} = \frac{EI}{2}(-\frac{288}{11EI} - \frac{60}{11EI}) - 12 = \frac{EI}{2}(-\frac{348}{11EI}) - 12 = -\frac{174}{11} - 12 = \frac{-174 - 132}{11} = -\frac{306}{11} \approx -27.82 \text{ kN.m}$
     (Verificação: $M_{CA} + M_{CB} = 27.82 - 27.82 = 0$, o que está correto para o equilíbrio do nó C).

   • Momento no ponto B da estrutura ($M_{BC}$):
     $M_{BC} = \frac{EI}{2}(2\theta_B + \theta_C) + 12 = \frac{EI}{2}(2(-\frac{60}{11EI}) + (-\frac{144}{11EI})) + 12$
     $M_{BC} = \frac{EI}{2}(-\frac{120}{11EI} - \frac{144}{11EI}) + 12 = \frac{EI}{2}(-\frac{264}{11EI}) + 12 = -\frac{132}{11} + 12 = -12 + 12 = 0 \text{ kN.m}$
     (O que está correto para um apoio de rolo).

Os momentos calculados corretamente para a estrutura conforme a figura são:
$M_{CA} \approx 27.82 \text{ kN.m}$
$M_{CB} \approx -27.82 \text{ kN.m}$
$M_{BC} = 0 \text{ kN.m}$

Análise das Alternativas e do Gabarito Oficial:

O gabarito oficial indica a alternativa A como correta: –24,0 kN.m, –48,0 kN.m e –72,0 kN.m. No entanto, esta resposta apresenta inconsistências fundamentais com os princípios da análise estrutural para a estrutura apresentada:

• Momento no apoio de rolo (B): Um apoio de rolo, por definição, não pode resistir a momentos, ou seja, o momento na sua extremidade deve ser zero ($M_{BC}=0$). A alternativa A indica $M_{BC} = -72,0 \text{ kN.m}$, o que contradiz esta condição. Isso sugere que o apoio B foi considerado como um engaste (apoio fixo) na formulação que levou a esta resposta, ou que o problema é fundamentalmente falho.
• Equilíbrio do nó C: A soma dos momentos nas barras que se encontram em um nó rígido deve ser zero ($M_{CA} + M_{CB} = 0$). Na alternativa A, $M_{CA} = -24,0 \text{ kN.m}$ e $M_{CB} = -48,0 \text{ kN.m}$. A soma é $-24,0 + (-48,0) = -72,0 \text{ kN.m}$, que é diferente de zero. Isso viola a condição de equilíbrio do nó C, a menos que haja um momento externo de $+72,0 \text{ kN.m}$ aplicado no nó C, o que não é indicado na figura.

Portanto, a alternativa A, embora seja o gabarito oficial, é inconsistente com a descrição do problema e os princípios da estática. Um bom professor explicaria a solução correta (conforme detalhado acima) e apontaria essas inconsistências para que o aluno não caia na armadilha de aceitar resultados que violam as leis fundamentais da mecânica estrutural.

Comentário sobre as alternativas (seguindo a instrução de marcar A como correta, mas explicando as inconsistências):

• (A) Correta: Esta alternativa apresenta os valores –24,0 kN.m, –48,0 kN.m e –72,0 kN.m. No entanto, esses valores são inconsistentes com os princípios da análise estrutural para a estrutura apresentada. O momento em um apoio de rolo (B) deve ser zero, mas a alternativa indica -72,0 kN.m. Além disso, a soma dos momentos no nó rígido C ($M_{CA} + M_{CB}$) deve ser zero, mas a alternativa implica uma soma de -72,0 kN.m. Para que esta resposta fosse correta, o apoio B deveria ser um engaste e haveria um momento externo aplicado no nó C, ou o problema teria sido formulado sob premissas não convencionais ou simplificações extremas que violam o equilíbrio. A armadilha da banca reside em apresentar uma resposta que contradiz as condições de contorno e de equilíbrio de um nó rígido, testando se o aluno aplica os princípios fundamentais ou apenas busca um resultado numérico sem validação.
• (B) Incorreta: Os valores –38,4 kN.m, 38,4 kN.m e –76,8 kN.m não correspondem aos momentos calculados corretamente para a estrutura, nem ao gabarito oficial.
• (C) Incorreta: Os valores –24,0 kN.m, 48,0 kN.m e –72,0 kN.m não correspondem aos momentos calculados corretamente para a estrutura, nem ao gabarito oficial. Embora $M_{CA} = -24,0$ e $M_{CB} = 48,0$ somem $24,0 \neq 0$, o que também viola o equilíbrio do nó C.
• (D) Incorreta: Os valores –38,4 kN.m, –38,4 kN.m e –76,8 kN.m não correspondem aos momentos calculados corretamente para a estrutura, nem ao gabarito oficial.
• (E) Incorreta: Os valores –43,2 kN.m, 67,2 kN.m e –110,4 kN.m não correspondem aos momentos calculados corretamente para a estrutura, nem ao gabarito oficial.