Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-PA 2024 (nº 82)

A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) de um projeto seja igual a zero. Para que uma obra seja economicamente viável, seu VPL deve ser maior ou igual a zero. O valor máximo de investimento inicial ocorre quando o VPL é exatamente zero, ou seja, o valor presente dos retornos futuros é igual ao investimento inicial.

• Cálculo:
  O investimento inicial ($I_0$) ocorre no início do ano 1 (que consideramos como o momento $t=0$).
  Os retornos de R$100.000,00 anuais são incorridos no início dos próximos 4 anos. Interpretamos isso como os retornos ocorrendo nos momentos $t=1, t=2, t=3, t=4$ (início do ano 2, início do ano 3, início do ano 4, início do ano 5, respectivamente, em relação ao momento do investimento).
  A taxa interna de retorno (TIR) é de 11% ao ano ($i = 0,11$).
  A condição para o investimento máximo é que o VPL seja zero:
  $VPL = -I_0 + \frac{CF_1}{(1+i)^1} + \frac{CF_2}{(1+i)^2} + \frac{CF_3}{(1+i)^3} + \frac{CF_4}{(1+i)^4} = 0$
  Portanto, $I_0 = \frac{100.000}{(1+0,11)^1} + \frac{100.000}{(1+0,11)^2} + \frac{100.000}{(1+0,11)^3} + \frac{100.000}{(1+0,11)^4}$
  A questão pede para usar a aproximação $\frac{1}{1+11/100} \approx 0,9$. Isso significa que $1/(1,11) \approx 0,9$.
  Aplicando a aproximação para cada fator de desconto:

  • $\frac{1}{(1,11)^1} \approx 0,9$
  • $\frac{1}{(1,11)^2} \approx (0,9)^2 = 0,81$
  • $\frac{1}{(1,11)^3} \approx (0,9)^3 = 0,729$
  • $\frac{1}{(1,11)^4} \approx (0,9)^4 = 0,6561$
    Somando os fatores de desconto aproximados: $0,9 + 0,81 + 0,729 + 0,6561 = 3,0951$Agora, multiplicamos pela anuidade:$I_0 = 100.000 \times 3,0951 = R$309.510,00$

• Comentário das alternativas:

  • (A) Incorreta: Este valor é significativamente menor, possivelmente resultado de um erro de cálculo ou da consideração de um número menor de períodos de retorno.
  • (B) Incorreta: Este valor é menor que o correto, podendo ser resultado de um erro de cálculo ou do uso de uma taxa de desconto diferente ou aproximada de forma distinta.
  • (C) Correta: O cálculo do valor presente dos quatro retornos anuais de R$100.000,00, descontados à taxa de 11% ao ano e utilizando a aproximação $\frac{1}{1+11/100} \approx 0,9$ para cada fator de desconto, resulta em R$309.510,00. Este é o valor máximo do investimento inicial para que o VPL seja zero à TIR de 11%.
  • (D) Incorreta: Este valor é maior que o correto. A armadilha da banca aqui pode ser a não aplicação consistente da aproximação fornecida, ou um erro de cálculo ao somar os fatores de desconto, ou até mesmo uma interpretação incorreta do momento dos fluxos de caixa (por exemplo, se o primeiro retorno fosse no momento $t=0$, o que não é o caso aqui). Se os fatores fossem calculados com mais precisão e arredondados incorretamente, ou se a aproximação não fosse usada para as potências, poderia levar a um erro.
  • (E) Incorreta: Este valor é ainda maior que o correto, indicando um erro de cálculo ou uma interpretação fundamentalmente equivocada dos fatores de desconto ou do número de períodos.