Questão de Estatística · FGV SEFIN-RO 2018 (nº 25)

A distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de um certo número de "sucessos" em uma quantidade fixa de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é constante.

Neste problema:

• n (número de tentativas) = 4 lançamentos do dado.
• p (probabilidade de sucesso, ou seja, obter um "6") = 1/6.
• q (probabilidade de fracasso, ou seja, não obter um "6") = 1 - p = 5/6.
• Queremos a probabilidade de obter o número "6" ao menos duas vezes, o que significa $P(X \ge 2)$.
• Isso pode ser calculado como $P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$, ou, de forma mais simples, $1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.

A fórmula da probabilidade binomial é $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, onde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1. Calcular $P(X=0)$ (nenhum "6" em 4 lançamentos):
   P(X=0) = \binom{4}{0} (1/6)^0 (5/6)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{5^4}{6^4} = \frac{625}{1296} \approx 0,4826\

2. Calcular $P(X=1)$ (exatamente um "6" em 4 lançamentos):
   P(X=1) = \binom{4}{1} (1/6)^1 (5/6)^3 = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5^3}{6^3} = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} = \frac{500}{1296} \approx 0,3858\

3. Calcular $P(X \ge 2)$:
   $P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$
   $P(X \ge 2) = 1 - [\frac{625}{1296} + \frac{500}{1296}]$
   $P(X \ge 2) = 1 - \frac{1125}{1296}$
   $P(X \ge 2) = \frac{1296 - 1125}{1296} = \frac{171}{1296}$
   $\frac{171}{1296} \approx 0,13194...$

Arredondando para duas casas decimais, a probabilidade é aproximadamente 0,13.

• (A) Incorreta: O valor 0,05 é muito baixo e não corresponde aos cálculos.
• (B) Correta: O valor calculado de aproximadamente 0,13 corresponde à probabilidade de obter o número "6" ao menos duas vezes.
• (C) Incorreta: O valor 0,25 não tem base nos cálculos da distribuição binomial para este problema.
• (D) Incorreta: Armadilha: Esta é a probabilidade aproximada de obter exatamente um "6" ($P(X=1) \approx 0,3858 \approx 0,40$). Um erro comum é calcular apenas uma das probabilidades ou interpretar mal "ao menos duas vezes".
• (E) Incorreta: O valor 0,50 não se aplica a este cenário de probabilidade, onde os resultados não são igualmente prováveis (50/50).