Questão de Engenharia Mecânica · FGV PCERJ 2021 (nº 44)

O teorema de Buckingham Pi nos ajuda a agrupar variáveis físicas em grupos adimensionais, que são combinações de variáveis onde todas as unidades se cancelam. Isso é útil para simplificar problemas e generalizar resultados experimentais, pois as relações entre esses grupos adimensionais são independentes do sistema de unidades.

• Dimensões das variáveis:

  • $R$ (resistência por unidade de área): Força/Área = $(M L T^{-2}) / L^2 = M L^{-1} T^{-2}$
  • $\rho$ (massa específica): Massa/Volume = $M / L^3 = M L^{-3}$
  • $v$ (velocidade): Comprimento/Tempo = $L T^{-1}$
  • $D$ (diâmetro): Comprimento = $L$

• Formando o grupo adimensional: Queremos uma combinação $R^a \rho^b v^c D^d$ que seja adimensional ($M^0 L^0 T^0$). Como queremos a forma adimensional para $R$, definimos $a=1$.
  Então, $[M L^{-1} T^{-2}]^1 [M L^{-3}]^b [L T^{-1}]^c [L]^d = M^0 L^0 T^0$.
  Equacionando os expoentes para cada dimensão:

  • Para M: $1 + b = 0 \implies b = -1$
  • Para T: $-2 - c = 0 \implies c = -2$
  • Para L: $-1 - 3b + c + d = 0 \implies -1 - 3(-1) + (-2) + d = 0 \implies -1 + 3 - 2 + d = 0 \implies d = 0$
    Assim, o grupo adimensional é $R^1 \rho^{-1} v^{-2} D^0 = R / (\rho v^2)$.

• (A) Correta: $R / (\rho \cdot v^2 )$. Esta é a forma adimensional correta, como demonstrado pela análise dimensional: $[M L^{-1} T^{-2}] / ([M L^{-3}] \cdot [L T^{-1}]^2) = [M L^{-1} T^{-2}] / ([M L^{-3}] \cdot [L^2 T^{-2}]) = [M L^{-1} T^{-2}] / [M L^{-1} T^{-2}] = M^0 L^0 T^0$.

• (B) Incorreta: $R / (v^2 \cdot D)$. As dimensões são $[M L^{-1} T^{-2}] / ([L T^{-1}]^2 \cdot [L]) = [M L^{-1} T^{-2}] / [L^3 T^{-2}] = M L^{-4}$, que não é adimensional.

• (C) Incorreta: $R \cdot v^2 / (\rho \cdot D)$. As dimensões são $([M L^{-1} T^{-2}] \cdot [L T^{-1}]^2) / ([M L^{-3}] \cdot [L]) = ([M L^{-1} T^{-2}] \cdot [L^2 T^{-2}]) / [M L^{-2}] = [M L T^{-4}] / [M L^{-2}] = L^3 T^{-4}$, que não é adimensional.

• (D) Incorreta: $R \cdot D / (\rho \cdot v^2 )$. As dimensões são $([M L^{-1} T^{-2}] \cdot [L]) / ([M L^{-3}] \cdot [L T^{-1}]^2) = [M T^{-2}] / ([M L^{-3}] \cdot [L^2 T^{-2}]) = [M T^{-2}] / [M L^{-1} T^{-2}] = L$, que não é adimensional. Armadilha da banca: Esta alternativa é tentadora porque inclui todas as variáveis e a estrutura se assemelha ao resultado correto, mas o diâmetro ($D$) está no numerador com expoente 1, quando deveria ter expoente 0 para ser adimensional. O erro comum é assumir que todas as variáveis "fundamentais" (repetitivas) devem aparecer com expoente diferente de zero no grupo adimensional.

• (E) Incorreta: $R \cdot \rho / (D \cdot v^2)$. As dimensões são $([M L^{-1} T^{-2}] \cdot [M L^{-3}]) / ([L] \cdot [L T^{-1}]^2) = [M^2 L^{-4} T^{-2}] / [L^3 T^{-2}] = M^2 L^{-7}$, que não é adimensional.