Questão de Física · FGV PCAM 2021 (nº 74)

A resistência equivalente de um circuito complexo pode ser simplificada usando a simetria do arranjo, identificando pontos com o mesmo potencial elétrico para agrupar resistores em combinações série-paralelo mais simples.

Análise da Simetria:

1. Primeira camada de resistores (saída de A): A corrente $i$ que entra em A se divide igualmente entre os 3 resistores conectados diretamente a A. Por simetria, os três vértices conectados a A (que são os "primeiros" vértices do caminho para B) estão no mesmo potencial elétrico. Assim, esses 3 resistores de valor R estão em paralelo entre o ponto A e um plano equipotencial. A resistência equivalente dessa seção é $R_1 = R/3$.
2. Segunda camada de resistores (meio do cubo): Dos três vértices da primeira camada, cada um se conecta a dois vértices da "segunda" camada de vértices (que são os "penúltimos" vértices do caminho para B). Por simetria, esses três vértices da segunda camada também estão no mesmo potencial elétrico. Existem 6 resistores conectando a primeira camada de vértices à segunda camada de vértices. Esses 6 resistores de valor R estão em paralelo entre os dois planos equipotenciais. A resistência equivalente dessa seção é $R_2 = R/6$.
3. Terceira camada de resistores (chegada em B): Dos três vértices da segunda camada, cada um se conecta diretamente ao vértice B. Esses 3 resistores de valor R estão em paralelo entre o plano equipotencial da segunda camada e o ponto B. A resistência equivalente dessa seção é $R_3 = R/3$.

A resistência equivalente total entre A e B é a soma dessas três resistências em série:
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 = \frac{R}{3} + \frac{R}{6} + \frac{R}{3} = \frac{2R + R + 2R}{6} = \frac{5R}{6}$.

(A) Incorreta: Esta seria a resistência se apenas os três resistores de saída de A estivessem em paralelo, ou se todos os 12 resistores estivessem em paralelo e houvesse um erro na contagem.
(B) Incorreta: Esta seria a resistência se apenas as duas camadas externas de resistores (saída de A e chegada em B) fossem consideradas, ignorando a camada intermediária, ou se a camada intermediária fosse calculada incorretamente.
(C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto por simetria.
(D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto por simetria.
(E) Correta: A resistência equivalente é $\frac{5R}{6}$, obtida pela aplicação do método da simetria para identificar planos equipotenciais e simplificar o circuito em combinações série-paralelo.