Questão de Física · FGV PCAM 2021 (nº 66)

O Teorema da Energia Cinética (ou Teorema Trabalho-Energia) afirma que o trabalho total realizado sobre um corpo é igual à variação de sua energia cinética. Ou seja, a soma dos trabalhos de todas as forças que atuam sobre o corpo é igual à mudança na sua energia de movimento.

Para a partícula subindo, as forças que realizam trabalho são a força peso (gravidade) e a força de atrito.

1. Trabalho da força peso ($W_p$): A força peso ($P = mg$) atua para baixo, enquanto o deslocamento é para cima. Portanto, o trabalho é negativo: $W_p = -mgh$.
2. Trabalho da força de atrito ($W_a$): A força de atrito ($F_a$) sempre se opõe ao movimento. Na subida, o movimento é para cima, então $F_a$ atua para baixo. O trabalho é negativo: $W_a = -F_a h$.

Na altura máxima, a velocidade final ($v_f$) da partícula é zero.
Aplicando o Teorema da Energia Cinética:
$E_{c,final} - E_{c,inicial} = W_p + W_a$
$0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -mgh - F_a h$

Dados do problema:

• Massa ($m$) = 4 kg
• Altura máxima ($h$) = 20 m
• Gravidade ($g$) = 10 m/s²

Cálculo do trabalho da força peso:
$W_p = -(4 \text{ kg})(10 \text{ m/s}^2)(20 \text{ m}) = -800 \text{ J}$.

Observação sobre a força de atrito: O gráfico indica uma força de atrito $F_a = 10$ N. Se usarmos este valor, o trabalho de atrito seria $W_a = -(10 \text{ N})(20 \text{ m}) = -200 \text{ J}$. Com isso, a velocidade inicial seria $v_0 = 10\sqrt{5} \approx 22.36$ m/s, que não está nas alternativas e difere do gabarito. Para que a resposta seja 40 m/s (conforme o gabarito oficial), a força de atrito efetiva deve ser diferente da indicada no gráfico. Assumindo que o gabarito está correto, calcularemos a força de atrito necessária para obter 40 m/s.

Para $v_0 = 40$ m/s:
$E_{c,inicial} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(4 \text{ kg})(40 \text{ m/s})^2 = 2 \times 1600 = 3200 \text{ J}$.
Substituindo no Teorema da Energia Cinética:
$0 - 3200 \text{ J} = -800 \text{ J} + W_a$
$W_a = -3200 \text{ J} + 800 \text{ J} = -2400 \text{ J}$.
Se o trabalho de atrito é $-2400$ J para uma altura de 20 m, a força de atrito $F_a$ seria:
$F_a = \frac{|W_a|}{h} = \frac{2400 \text{ J}}{20 \text{ m}} = 120 \text{ N}$.
Portanto, para o gabarito ser 40 m/s, a força de atrito deveria ser 120 N, e não 10 N como mostrado no gráfico.

• (A) Incorreta: 10 m/s é um valor muito baixo e não corresponde aos cálculos com ou sem atrito.
• (B) Incorreta: 20 m/s seria a velocidade inicial se a força de atrito fosse ignorada ($v_0 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20$ m/s). Esta é a armadilha da banca, pois é um erro comum desconsiderar a resistência do ar ou atrito quando presente.
• (C) Correta: Para que a velocidade inicial seja 40 m/s, a força de atrito deve ser de 120 N (e não 10 N como indicado no gráfico). Com $m=4$ kg, $h=20$ m, $g=10$ m/s² e $F_a=120$ N, temos: $0 - \frac{1}{2}(4)v_0^2 = -(4)(10)(20) - (120)(20) \Rightarrow -2v_0^2 = -800 - 2400 \Rightarrow -2v_0^2 = -3200 \Rightarrow v_0^2 = 1600 \Rightarrow v_0 = 40$ m/s.
• (D) Incorreta: 60 m/s é um valor muito alto para as condições dadas.
• (E) Incorreta: 80 m/s é um valor muito alto para as condições dadas.