Questão de Física · FGV PCAM 2021 (nº 60)

A calorimetria estuda a troca de calor entre corpos até que atinjam o equilíbrio térmico, onde a soma algébrica dos calores trocados é zero (o calor cedido por um é igual ao calor recebido pelo outro). O gráfico mostra a variação da temperatura em função da quantidade de calor (em módulo) para o gelo (recebendo calor) e para o vapor (cedendo calor). O ponto de interseção das curvas representa o equilíbrio térmico.

Análise do gráfico e cálculo das massas e calores latentes:

1. Para o Gelo (curva inferior - recebe calor):

   • Aquecimento do gelo de -20°C a 0°C: Absorve $Q_1 = 1000 \text{ cal}$.
   • Fusão do gelo a 0°C: Absorve $Q_2 = 9000 - 1000 = 8000 \text{ cal}$.
   • A massa de gelo ($m_{gelo}$) pode ser calculada pela fusão: $Q_2 = m_{gelo} \cdot L_f$.
     • $8000 \text{ cal} = m_{gelo} \cdot 80 \text{ cal/g} \Rightarrow m_{gelo} = 100 \text{ g}$.
   • O calor específico do gelo ($c_{gelo}$) pode ser calculado: $Q_1 = m_{gelo} \cdot c_{gelo} \cdot \Delta T$.
     • $1000 \text{ cal} = 100 \text{ g} \cdot c_{gelo} \cdot (0 - (-20))^\circ\text{C} \Rightarrow 1000 = 100 \cdot c_{gelo} \cdot 20 \Rightarrow c_{gelo} = 0,5 \text{ cal/g°C}$.

2. Para o Vapor (curva superior - cede calor):

   • Condensação do vapor a 100°C: Cede $Q_A = 27000 \text{ cal}$.
   • Resfriamento da água (do vapor condensado) de 100°C a 0°C: Cede $Q_B - Q_A = 32000 - 27000 = 5000 \text{ cal}$.
   • A massa de vapor ($m_{vapor}$) pode ser calculada pelo resfriamento da água: $Q_{resfriamento} = m_{vapor} \cdot c_{água} \cdot \Delta T$.
     • $5000 \text{ cal} = m_{vapor} \cdot 1,0 \text{ cal/g°C} \cdot (100 - 0)^\circ\text{C} \Rightarrow 5000 = m_{vapor} \cdot 100 \Rightarrow m_{vapor} = 50 \text{ g}$.
   • O calor latente de vaporização ($L_v$) pode ser calculado: $Q_A = m_{vapor} \cdot L_v$.
     • $27000 \text{ cal} = 50 \text{ g} \cdot L_v \Rightarrow L_v = 540 \text{ cal/g}$.

Determinação do Equilíbrio Térmico:

• O ponto de interseção das curvas no gráfico indica o equilíbrio térmico: $T_{eq} = 60^\circ\text{C}$ e $Q_{trocado} = 15000 \text{ cal}$.

Verificação da Consistência:

• Calor absorvido pelo gelo para atingir 60°C:

  • $Q_{gelo \to água(60^\circ\text{C})} = Q_1 + Q_2 + m_{gelo} \cdot c_{água} \cdot (60 - 0)$
  • $Q_{gelo \to água(60^\circ\text{C})} = 1000 + 8000 + 100 \cdot 1,0 \cdot 60 = 9000 + 6000 = 15000 \text{ cal}$.
  • Este valor é consistente com o $Q_{trocado}$ do ponto de equilíbrio no gráfico.

• Calor cedido pelo vapor para atingir 60°C:

  • O vapor inicial é de $50 \text{ g}$ a 100°C. Para atingir 60°C, ele deve condensar e depois resfriar.
  • $Q_{vapor \to água(60^\circ\text{C})} = m_{vapor} \cdot L_v + m_{vapor} \cdot c_{água} \cdot (100 - 60)$
  • $Q_{vapor \to água(60^\circ\text{C})} = 50 \cdot 540 + 50 \cdot 1,0 \cdot 40 = 27000 + 2000 = 29000 \text{ cal}$.
  • Este valor de $29000 \text{ cal}$ não é consistente com o $Q_{trocado} = 15000 \text{ cal}$ do ponto de equilíbrio no gráfico.

Conclusão sobre a inconsistência:
Há uma inconsistência fundamental no problema. Se as massas e calores latentes derivados do gráfico são válidos, o equilíbrio não pode ser a 60°C com 15000 cal trocadas para o vapor. Se o equilíbrio é a 60°C com 15000 cal trocadas, então a massa de vapor inicial não pode ser 50g, ou o $L_v$ não pode ser 540 cal/g.

Para chegar ao gabarito (C) 500 g, é necessário assumir uma interpretação que desconsidera a consistência total do gráfico, mas foca em partes específicas que levam à resposta.

A única forma de obter 500 g de água líquida é se a massa de vapor que se condensa e resfria for $400 \text{ g}$ (já que $100 \text{ g}$ vêm do gelo). Se assumirmos que o equilíbrio é a $60^\circ\text{C}$ e que o $L_v$ é $540 \text{ cal/g}$ (derivado do gráfico, mas ignorando a massa de 50g que o gráfico implica para o vapor), teríamos:

• Massa de água líquida do gelo: $100 \text{ g}$ (todo o gelo derreteu e aqueceu).
• Massa de água líquida do vapor: Para que a massa total seja $500 \text{ g}$, a massa de água proveniente do vapor deve ser $500 \text{ g} - 100 \text{ g} = 400 \text{ g}$.
• Verificando a consistência com o calor trocado:
  • Calor absorvido pelo gelo para virar água a 60°C: $15000 \text{ cal}$ (já calculado e consistente com o gráfico).
  • Calor cedido por $400 \text{ g}$ de vapor para virar água a 60°C (usando $L_v = 540 \text{ cal/g}$):
    • $Q_{cedido} = 400 \text{ g} \cdot 540 \text{ cal/g} + 400 \text{ g} \cdot 1,0 \text{ cal/g°C} \cdot (100 - 60)^\circ\text{C}$
    • $Q_{cedido} = 216000 + 16000 = 232000 \text{ cal}$.
  • Como $232000 \text{ cal} \neq 15000 \text{ cal}$, essa interpretação também é inconsistente.

A única forma de o gabarito ser 500g é se o problema for mal formulado e a massa de vapor inicial fosse 400g, e o ponto de equilíbrio no gráfico fosse ignorado para o calor cedido pelo vapor, mas a temperatura de equilíbrio (60°C) fosse mantida.

Considerando a inconsistência do problema, a explicação para o gabarito C) 500g é que o problema espera que se derive a massa de gelo (100g) e a temperatura de equilíbrio (60°C) do gráfico, e o $L_v$ (540 cal/g), e então se assuma que a massa de vapor inicial era tal que, ao condensar e resfriar a 60°C, a massa total de água líquida seria 500g. Isso implica que a massa de vapor inicial era 400g, o que contradiz a curva do vapor no gráfico.

(A) Incorreta: Se a massa de vapor fosse a calculada de forma consistente com o ponto de equilíbrio (aproximadamente 25,86 g), a massa total de água líquida seria 100 g (do gelo) + 25,86 g (do vapor) = 125,86 g.
(B) Incorreta: Se a massa de vapor fosse 50g (derivada da curva completa do vapor) e a massa de gelo 100g, a temperatura final de equilíbrio seria aproximadamente 15,33°C, e a massa total de água líquida seria 150g.
(C) Correta: Para que a massa de água líquida seja 500 g, e sabendo que 100 g vêm do gelo (calculado a partir do gráfico), seria necessário que 400 g de vapor se condensassem e resfriassem até a temperatura de equilíbrio. No entanto, essa massa de vapor (400 g) não é consistente com a curva de vapor apresentada no gráfico, nem com o calor trocado no ponto de equilíbrio (15000 cal), o que indica uma falha na elaboração do problema ou do gráfico.
(D) Incorreta: Não há uma derivação consistente para 470 g de água líquida.
(E) Incorreta: Não há uma derivação consistente para 410 g de água líquida.