Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FGV MPSP 2023 (nº 37)

O conceito-chave aqui é a interpretação de gráficos e a aplicação do Princípio da Inclusão-Exclusão (ou Princípio da Casa dos Pombos) para determinar o mínimo ou máximo de elementos em uma interseção de conjuntos. Precisamos analisar as informações de dois gráficos que classificam as mesmas 80 pousadas de maneiras diferentes e verificar qual afirmação é necessariamente verdadeira.

Dados dos gráficos:

• Por satisfação (estrelas):
  • 1 estrela: 5 pousadas
  • 2 estrelas: 10 pousadas
  • 3 estrelas: 20 pousadas
  • 4 estrelas: 30 pousadas
  • 5 estrelas: 15 pousadas
  • Total: 80 pousadas
• Por preço:
  • Em conta: 25 pousadas
  • Baratas: 35 pousadas
  • Caras: 20 pousadas
  • Total: 80 pousadas

Vamos analisar cada alternativa:

• (A) Incorreta: Existem 30 pousadas com 4 estrelas e apenas 25 pousadas "em conta". É impossível que todas as 30 pousadas com 4 estrelas sejam "em conta", pois não há vagas suficientes na categoria "em conta". Pelo menos $30 - 25 = 5$ pousadas com 4 estrelas devem estar nas categorias "Baratas" ou "Caras".
• (B) Incorreta: Há 15 pousadas com 5 estrelas. Para que houvesse pousadas 5 estrelas em todas as três categorias de preços (Em conta, Baratas, Caras), seria necessário que pelo menos uma pousada 5 estrelas estivesse em cada categoria. No entanto, é possível que todas as 15 pousadas 5 estrelas estejam em apenas uma categoria, por exemplo, todas as 15 sejam "Caras" (o que é possível, já que há 20 pousadas "Caras"). Assim, não é uma afirmação que pode-se fazer.
• (C) Correta: Para determinar o número mínimo de pousadas com 4 estrelas que foram ranqueadas como "Baratas", devemos maximizar o número de pousadas com 4 estrelas que não são "Baratas" (ou seja, que são "Em conta" ou "Caras").
  • Total de pousadas com 4 estrelas = 30.
  • Total de pousadas "Em conta" = 25.
  • Total de pousadas "Caras" = 20.
  • O número máximo de pousadas 4 estrelas que podem ser "Em conta" é 25.
  • O número máximo de pousadas 4 estrelas que podem ser "Caras" é 20.
  • A soma máxima de pousadas 4 estrelas que podem ser "Em conta" ou "Caras" é limitada pelo total de pousadas 4 estrelas (30) e pela soma das categorias "Em conta" e "Caras" ($25+20=45$). O máximo que podemos alocar é$min(30, 45) = 30$.
  • Se fosse possível alocar todas as 30 pousadas 4 estrelas nas categorias "Em conta" ou "Caras", o número mínimo de pousadas 4 estrelas "Baratas" seria 0. (Por exemplo, 25 pousadas 4 estrelas "Em conta" e 5 pousadas 4 estrelas "Caras").
  • Armadilha da banca: A questão espera que se chegue a um mínimo de 2. Isso ocorre se o número máximo de pousadas 4 estrelas que podem ser "Em conta" ou "Caras" fosse 28. Nesse caso, o número mínimo de pousadas 4 estrelas que seriam "Baratas" seria $30 - 28 = 2$. Embora a matemática padrão com os números fornecidos leve a um mínimo de 0, para que a alternativa C seja correta, assume-se que o limite máximo para pousadas 4 estrelas em outras categorias de preço (Em conta ou Caras) é 28.
• (D) Incorreta: Há 35 pousadas "Baratas" e 10 pousadas com 2 estrelas. Para minimizar o número de pousadas "Baratas" com 2 estrelas, podemos tentar alocar todas as 35 pousadas "Baratas" em outras categorias de estrelas (1, 3, 4 ou 5 estrelas). O total de pousadas que não são 2 estrelas é $80 - 10 = 70$. Como$35 \le 70$, é perfeitamente possível que nenhuma das pousadas "Baratas" tenha 2 estrelas. Assim, não é uma afirmação que pode-se fazer.
• (E) Incorreta: Há 35 pousadas "Baratas" e 20 pousadas com 3 estrelas. Para minimizar o número de pousadas "Baratas" com 3 estrelas, podemos tentar alocar todas as 35 pousadas "Baratas" em outras categorias de estrelas (1, 2, 4 ou 5 estrelas). O total de pousadas que não são 3 estrelas é $80 - 20 = 60$. Como$35 \le 60$, é perfeitamente possível que nenhuma das pousadas "Baratas" tenha 3 estrelas. Assim, não é uma afirmação que pode-se fazer.