Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FGV MPSP 2023 (nº 32)

Equivalência lógica significa que duas afirmações têm o mesmo "valor de verdade" em todas as situações possíveis; se uma é verdadeira, a outra também é, e vice-versa. Para uma afirmação condicional do tipo "Se A, então B", uma equivalência fundamental é a sua contrapositiva: "Se não B, então não A".

Vamos definir as proposições:
P: "A TV não está ligada"
Q: "Eu estou dormindo"
R: "Eu estou lendo"

A afirmação original é: $P \rightarrow (Q \lor R)$ (Se a TV não está ligada, então eu estou dormindo ou estou lendo).

A equivalência por contrapositiva de $A \rightarrow B$ é $\neg B \rightarrow \neg A$.
Aplicando à nossa afirmação:
$A = P$
$B = (Q \lor R)$

Então, a contrapositiva será: $\neg (Q \lor R) \rightarrow \neg P$.

Pela Lei de De Morgan, $\neg (Q \lor R)$ é equivalente a $(\neg Q \land \neg R)$.
E $\neg P$ significa "A TV está ligada" (já que P é "A TV não está ligada").

Substituindo, temos: $(\neg Q \land \neg R) \rightarrow \neg P$.
Traduzindo para a linguagem natural: "Se eu não estou dormindo E eu não estou lendo, então a TV está ligada."

• (A) Incorreta: Esta alternativa é uma conjunção ("e") e não uma condicional ("se... então"), portanto, não pode ser logicamente equivalente à afirmação original.
• (B) Correta: Esta alternativa é exatamente a contrapositiva da afirmação original, que é uma equivalência lógica fundamental. "Se eu não estou dormindo e não estou lendo" ($\neg Q \land \neg R$) é a negação de "eu estou dormindo ou estou lendo" ($\neg (Q \lor R)$), e "a TV está ligada" ($\neg P$) é a negação de "a TV não está ligada" ($\neg P$).
• (C) Incorreta: A armadilha aqui é confundir a Lei de De Morgan. A negação de "dormindo ou lendo" é "não dormindo E não lendo" (usando "e"), não "não dormindo OU não lendo". A alternativa usa "ou" onde deveria ser "e", alterando o sentido lógico.
• (D) Incorreta: Esta alternativa é uma bicondicional ("se, e somente se"), que tem uma estrutura lógica diferente e não é equivalente a uma condicional simples.
• (E) Incorreta: Assim como a alternativa A, esta é uma conjunção ("e") e não uma condicional, portanto, não é logicamente equivalente à afirma afirmação original.