Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FGV MPSP 2023 (nº 26)

Para descobrir o total de elementos em uma união de conjuntos, usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão, que nos ajuda a somar todos os elementos sem contar ninguém mais de uma vez. Para três conjuntos, somamos os elementos de cada conjunto, subtraímos os que estão nas interseções de dois conjuntos (pois foram contados duas vezes) e, por fim, somamos de volta os que estão na interseção dos três conjuntos (pois foram subtraídos demais).

Dados do problema:

• Total de pessoas no grupo = 55
• Pessoas que não jogam nenhum jogo = 1
• Pessoas que jogam pelo menos um jogo = $55 - 1 = 54$(Este é o valor da união dos três conjuntos:$|P \cup T \cup B|$).
• $|P|$ (Pôquer) = 32
• $|T|$ (Truco) = 36
• $|B|$ (Buraco) = 34
• $|P \cap T|$ (Pôquer e Truco) = 18
• $|T \cap B|$ (Truco e Buraco) = 21
• $|B \cap P|$ (Buraco e Pôquer) = 20
• Queremos encontrar $|P \cap T \cap B|$ (Pessoas que jogam os três jogos).

A fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos é:
$|P \cup T \cup B| = |P| + |T| + |B| - (|P \cap T| + |P \cap B| + |T \cap B|) + |P \cap T \cap B|$

Substituindo os valores conhecidos:
$54 = 32 + 36 + 34 - (18 + 20 + 21) + |P \cap T \cap B|$
$54 = 102 - (59) + |P \cap T \cap B|$
$54 = 43 + |P \cap T \cap B|$
$|P \cap T \cap B| = 54 - 43$
$|P \cap T \cap B| = 11$

(A) Incorreta: Resultaria se a pessoa que não joga nenhum jogo fosse ignorada, usando 55 como o total de pessoas que jogam pelo menos um jogo. A armadilha da banca é justamente essa: esquecer de subtrair quem não joga nada do total do grupo antes de aplicar a fórmula da união.
(B) Correta: A quantidade de pessoas que jogam os três jogos é 11, calculada corretamente pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, considerando que 54 pessoas jogam pelo menos um jogo.
(C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto. Pode ser resultado de algum erro aritmético na aplicação da fórmula.
(D) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto. Pode ser resultado de algum erro aritmético na aplicação da fórmula.
(E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto. Pode ser resultado de algum erro aritmético na aplicação da fórmula.