Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV GCM SJC 2023 (nº 23)

O Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo) é uma ferramenta para calcular o total de possibilidades quando há várias decisões sequenciais, multiplicando o número de opções para cada decisão. Para resolver este problema, precisamos escolher 4 dígitos distintos, sendo exatamente um par e os outros três ímpares, e depois organizá-los.

Para formar a senha, temos:

• 5 algarismos pares: {0, 2, 4, 6, 8}
• 5 algarismos ímpares: {1, 3, 5, 7, 9}

Vamos seguir os passos:

1. Escolher o algarismo par: Há $C(5,1) = 5$ maneiras de escolher 1 algarismo par.
2. Escolher os três algarismos ímpares: Há $C(5,3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ maneiras de escolher 3 algarismos ímpares.
3. Arranjar os 4 algarismos escolhidos: Como os 4 algarismos são distintos e a ordem importa (é uma senha), há $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ maneiras de arranjá-los.

O número total de senhas é o produto dessas escolhas: $5 \times 10 \times 24 = 1200$.

(A) Incorreta: Não reflete a combinação correta de escolhas e arranjos dos dígitos.
(B) Incorreta: Este valor representa apenas as senhas em que o dígito par ocupa uma posição específica (ex: apenas na primeira posição), ignorando as outras 3 posições possíveis.
(C) Incorreta: Este resultado seria obtido se houvesse apenas 4 algarismos pares disponíveis (esquecendo o 0) em vez de 5. A armadilha da banca aqui é fazer o aluno esquecer que o 0 é um algarismo par.
(D) Correta: O número total de senhas é calculado escolhendo 1 algarismo par de 5, 3 algarismos ímpares de 5, e então arranjando esses 4 algarismos distintos em 4 posições ($C(5,1) \times C(5,3) \times 4! = 5 \times 10 \times 24 = 1200$).
(E) Incorreta: Este resultado seria obtido se houvesse 6 algarismos pares disponíveis em vez de 5.