Questão de Raciocínio Lógico Matemático · FGV GCM SJC 2023 (nº 18)

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é calculada usando o Teorema de Pitágoras, onde a diferença das coordenadas $x$ (horizontal) e a diferença das coordenadas $y$ (vertical) formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa.

(A) Incorreta: O valor 5 pode ser um distrator se o aluno tentar calcular a média das coordenadas $x$ de $A$ e $B$ (que é $(1+9)/2 = 5$), ignorando que o ponto $C$ tem uma coordenada $y$ fixa em 1 e não é necessariamente o ponto médio entre $A$ e $B$. Além disso, pode ser um erro de cálculo, como se $16k = 80$. **(B) Correta:** Para que um ponto$C(k,1)$esteja à mesma distância de$A(1,7)$e$B(9,1)$, as distâncias$d(A,C)$e$d(B,C)$devem ser iguais. A fórmula da distância entre dois pontos$(x_1, y_1)$e$(x_2, y_2)$é$D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Igualamos os quadrados das distâncias para eliminar a raiz quadrada:$d(A,C)^2 = d(B,C)^2$.$(k-1)^2 + (1-7)^2 = (k-9)^2 + (1-1)^2$$(k-1)^2 + (-6)^2 = (k-9)^2 + 0^2$$k^2 - 2k + 1 + 36 = k^2 - 18k + 81$$k^2 - 2k + 37 = k^2 - 18k + 81$Subtraindo$k^2$de ambos os lados:$-2k + 37 = -18k + 81 Somando \18k a ambos os lados e subtraindo \37: \18k - 2k = 81 - 37 \16k = 44$$k = \frac{44}{16}$Simplificando a fração dividindo por 4:$k = \frac{11}{4}$Convertendo para decimal:$k = 2,75. **(C) Incorreta:** O valor 2,5 (ou \10/4) seria obtido se houvesse um erro na soma ou subtração final, por exemplo, se \16k = 40. **(D) Incorreta:** O valor 2,25 (ou \9/4) seria obtido se houvesse um erro na soma ou subtração final, por exemplo, se \16k = 36. **(E) Incorreta:** O valor 2 (ou \8/4) seria obtido se houvesse um erro na soma ou subtração final, por exemplo, se \16k = 32$.