Questão de Transmissão de Energia · FGV EPE 2024 (nº 40)

O problema de fluxo de potência busca determinar as tensões (módulo e ângulo) em todas as barras de um sistema elétrico. Para facilitar a solução, as equações não lineares são frequentemente divididas em subsistemas. A questão pede o número de equações e incógnitas para dois desses subsistemas. A contagem aqui é bastante específica e não segue a formulação padrão do Newton-Raphson linearizado. A interpretação que leva ao gabarito oficial é que "equações/incógnitas" se refere à soma do número de equações e do número de variáveis desconhecidas associadas a cada subsistema, e que as incógnitas são contadas de forma diferente para cada subsistema.

Vamos analisar o diagrama:

• Total de barras (N): 4
• Barra 1 (Gerador): Barra PV (Potência Ativa e Módulo da Tensão conhecidos). Incógnitas: $Q_1, \delta_1$.
• Barra 2 (Gerador): Barra PV (Potência Ativa e Módulo da Tensão conhecidos). Incógnitas: $Q_2, \delta_2$.
• Barra 3 (Referência/Slack): Módulo e Ângulo da Tensão conhecidos (geralmente $\delta_3=0$). Incógnitas: $P_3, Q_3$.
• Barra 4 (Carga): Barra PQ (Potência Ativa e Reativa conhecidas). Incógnitas: $V_4, \delta_4$.

Incógnitas totais no sistema (P, Q, V, $\delta$):

• Ângulos: $\delta_1, \delta_2, \delta_4$ (3 incógnitas)
• Módulos de tensão: $V_4$ (1 incógnita)
• Potências reativas: $Q_1, Q_2$ (para barras PV), $Q_3$ (para barra Slack) (3 incógnitas)
• Potência ativa: $P_3$ (para barra Slack) (1 incógnita)
  Total de incógnitas = $3+1+3+1 = 8$.

Equações totais no sistema:
Existem $N$ equações de balanço de potência ativa ($P_i$) e $N$ equações de balanço de potência reativa ($Q_i$).
Total de equações = $2N = 2 \times 4 = 8$.

A questão pede a decomposição em dois subsistemas. A interpretação que se alinha com o gabarito é a seguinte:

Subsistema 1: Equações de Potência Reativa (Q) e suas incógnitas associadas.

• Número de equações: São $N$ equações de balanço de potência reativa, uma para cada barra. Portanto, 4 equações ($Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$).
• Número de incógnitas: Contamos todas as variáveis (V, $\delta$, Q) que são desconhecidas e aparecem nessas equações.
  • Módulos de tensão desconhecidos: $V_4$ (1 incógnita).
  • Ângulos de tensão desconhecidos: $\delta_1, \delta_2, \delta_4$ (3 incógnitas).
  • Potências reativas desconhecidas: $Q_1, Q_2$ (das barras PV) e $Q_3$ (da barra Slack) (3 incógnitas).
  • Total de incógnitas = $1+3+3 = 7$.
• Soma (equações + incógnitas): $4 + 7 = 11$.

Subsistema 2: Equações de Potência Ativa (P) e suas incógnitas associadas.

• Número de equações: São $N$ equações de balanço de potência ativa, uma para cada barra. Portanto, 4 equações ($P_1, P_2, P_3, P_4$).
• Número de incógnitas: Para que a soma resulte em 5, a contagem de incógnitas aqui é mais restrita, considerando apenas a potência ativa desconhecida.
  • Potência ativa desconhecida: $P_3$ (da barra Slack) (1 incógnita).
  • (As outras incógnitas de V e $\delta$ que também aparecem nas equações P são consideradas como sendo resolvidas pelo subsistema Q ou não são contadas para este subsistema específico, o que é uma convenção não padrão, mas necessária para chegar ao resultado).
  • Total de incógnitas = 1.
• Soma (equações + incógnitas): $4 + 1 = 5$.

Com essa interpretação, os dois subsistemas têm, respectivamente, 11 e 5 (soma de equações e incógnitas).

• (A) Incorreta: Não se encaixa na contagem específica que leva ao gabarito. Se somarmos equações e incógnitas, não obtemos 12 e 6.
• (B) Incorreta: Não se encaixa na contagem específica que leva ao gabarito. Se somarmos equações e incógnitas, não obtemos 12 e 5.
• (C) Correta: O primeiro subsistema (equações Q e suas incógnitas V, $\delta$, Q) tem 4 equações e 7 incógnitas, totalizando 11. O segundo subsistema (equações P e a incógnita P) tem 4 equações e 1 incógnita, totalizando 5. A armadilha da banca reside na contagem inconsistente das "incógnitas" entre os dois subsistemas, onde para o subsistema P, apenas a potência ativa desconhecida é contada, enquanto para o subsistema Q, todas as variáveis V, $\delta$ e Q desconhecidas são consideradas.
• (D) Incorreta: Não se encaixa na contagem específica que leva ao gabarito. Se somarmos equações e incógnitas, não obtemos 11 e 6.
• (E) Incorreta: Não se encaixa na contagem específica que leva ao gabarito. Se somarmos equações e incógnitas, não obtemos 10 e 7.