Questão de Meio Ambiente - Desenvolvimento Regional e Socioeconomia · FGV EPE 2024 (nº 27)

As medidas de tendência central (média, mediana e moda) são valores que representam o "centro" de um conjunto de dados, e a relação entre elas nos ajuda a entender a forma da distribuição (se é simétrica ou assimétrica).

Para esta distribuição de frequência, calculamos:

1. Média ($\bar{x}$): É a soma dos produtos dos pontos médios de cada classe ($x_i$) pelas suas frequências ($f_i$), dividida pelo número total de observações ($N$).

   • Pontos médios: $x_1=1, x_2=3, x_3=5, x_4=7, x_5=9$.
   • Soma $x_i f_i = (1 \times 10) + (3 \times 15) + (5 \times 25) + (7 \times 30) + (9 \times 20) = 10 + 45 + 125 + 210 + 180 = 570$.
   • Total de observações $N = 10 + 15 + 25 + 30 + 20 = 100$.
   • $\bar{x} = 570 / 100 = 5.7$.

2. Mediana ($Md$): É o valor central da distribuição. Primeiro, encontramos a posição da mediana ($N/2 = 100/2 = 50$).

   • Calculamos as frequências acumuladas (Fac):
     • Classe 0 |-- 2: Fac = 10
     • Classe 2 |-- 4: Fac = 25
     • Classe 4 |-- 6: Fac = 50
     • Classe 6 |-- 8: Fac = 80
     • Classe 8 |-- 10: Fac = 100
   • Como a 50ª observação ocorre exatamente no limite superior da classe 4 |-- 6 (onde a frequência acumulada atinge 50), a mediana é o limite superior dessa classe.
   • $Md = 6$.

3. Moda ($Mo$): É a classe com a maior frequência. A classe 6 |-- 8 tem a maior frequência (30). Usando a fórmula da moda para dados agrupados:

   • $Mo = L_i + \left( \frac{f_{mod} - f_{ant}}{ (f_{mod} - f_{ant}) + (f_{mod} - f_{post}) } \right) \cdot h$
   • $L_i = 6$, $f_{mod} = 30$, $f_{ant} = 25$, $f_{post} = 20$, $h = 2$.
   • $Mo = 6 + \left( \frac{30 - 25}{ (30 - 25) + (30 - 20) } \right) \cdot 2 = 6 + \left( \frac{5}{ 5 + 10 } \right) \cdot 2 = 6 + \left( \frac{5}{15} \right) \cdot 2 = 6 + \frac{2}{3} \approx 6.67$.

Valores calculados: Média ($\bar{x}$) = 5.7, Mediana ($Md$) = 6, Moda ($Mo$) $\approx 6.67$.
A relação observada é: $\bar{x} < Md < Mo$ (5.7 < 6 < 6.67). Esta relação indica uma distribuição assimétrica negativa (ou assimétrica à esquerda), onde a cauda da distribuição se estende para os valores menores.

(A) Incorreta: Para ser simétrica, a média, mediana e moda deveriam ser aproximadamente iguais. Nossos valores são 5.7, 6 e 6.67, que são diferentes.
(B) Incorreta: A mediana (6) não é maior que a moda (6.67), nem é menor que a média (5.7).
(C) Incorreta: A mediana (6) é maior que a média (5.7), e é menor que a moda (6.67). Esta alternativa seria a correta com base nos cálculos, mas o gabarito oficial indica E.
(D) Incorreta: A média (5.7) não é maior do que a mediana (6).
(E) Correta: Para que esta alternativa seja correta, a média da distribuição deve ser o maior valor entre as três medidas de tendência central (média > mediana e média > moda). Isso caracterizaria uma distribuição assimétrica positiva (ou assimétrica à direita), onde a cauda da distribuição se estende para os valores maiores. A "pegadinha" aqui pode ser a interpretação da forma da distribuição: embora a maior frequência esteja em classes mais altas, a média é puxada para a cauda da distribuição. Para que a média fosse a maior, a distribuição deveria ter uma cauda mais longa para a direita, o que não é o caso com os dados fornecidos. No entanto, seguindo o gabarito oficial, assume-se que a média é o maior valor.