Questão de Engenharia Civil · FGV DATAPREV 2024 (nº 63)

As medidas de tendência central são valores que representam o "centro" ou o valor típico de um conjunto de dados. As mais comuns são a média (soma de todos os valores dividida pelo número de valores), a moda (o valor que aparece com maior frequência) e a mediana (o valor central quando os dados estão ordenados). Para dados agrupados em classes, como nesta questão, essas medidas são calculadas usando aproximações.

Vamos calcular P (média), Q (moda) e R (mediana) para a distribuição fornecida:

1. Cálculo de P (Média):
   Para dados agrupados, a média é calculada usando o ponto médio de cada classe ($x_i$) e sua frequência ($f_i$).

   • Pontos médios das classes:
     • [31.5, 32.5) -> $x_1 = (31.5 + 32.5) / 2 = 32$
     • [32.5, 33.5) -> $x_2 = (32.5 + 33.5) / 2 = 33$
     • [33.5, 34.5) -> $x_3 = (33.5 + 34.5) / 2 = 34$
     • [34.5, 35.5) -> $x_4 = (34.5 + 35.5) / 2 = 35$
     • [35.5, 36.5) -> $x_5 = (35.5 + 36.5) / 2 = 36$
   • Soma dos produtos $(x_i \cdot f_i)$:
     $(32 \cdot 3) + (33 \cdot 8) + (34 \cdot 10) + (35 \cdot 6) + (36 \cdot 3)$
     $= 96 + 264 + 340 + 210 + 108 = 1018$
   • Número total de frascos (n) = $3 + 8 + 10 + 6 + 3 = 30$
   • $P = \frac{1018}{30} = 33.933...$
   • Portanto, $P \approx 33.93$.

2. Cálculo de Q (Moda):
   A classe modal é a classe com a maior frequência. Neste caso, é a classe [33.5, 34.5) com frequência de 10.

   • Armadilha da banca: Embora exista uma fórmula de interpolação para calcular a moda com maior precisão em dados agrupados, em muitos contextos (especialmente em questões de múltipla escolha que buscam simplificar), a moda é aproximada pelo ponto médio da classe modal.
   • Ponto médio da classe [33.5, 34.5) = $(33.5 + 34.5) / 2 = 34$.
   • Portanto, $Q = 34$.

3. Cálculo de R (Mediana):
   A mediana é o valor que divide os dados em duas metades. Para 30 observações, a mediana está na posição $n/2 = 30/2 = 15$.

   • Vamos calcular as frequências acumuladas para encontrar a classe mediana:
     • Classe [31.5, 32.5): Frequência acumulada = 3
     • Classe [32.5, 33.5): Frequência acumulada = $3 + 8 = 11$
     • Classe [33.5, 34.5): Frequência acumulada = $11 + 10 = 21$
   • A 15ª observação (a mediana) está na classe [33.5, 34.5). Esta é a classe mediana.
   • Armadilha da banca: Assim como na moda, a mediana para dados agrupados é frequentemente aproximada pelo ponto médio da classe mediana.
   • Ponto médio da classe [33.5, 34.5) = $(33.5 + 34.5) / 2 = 34$.
   • Portanto, $R = 34$.

Resumo dos valores calculados (considerando a aproximação para Q e R):
$P \approx 33.93$
$Q = 34$
$R = 34$

Agora, vamos analisar as alternativas:

• (A) Incorreta: $P \approx 33.93$, que não é maior que 34 ($P > 34$ é Falso). $Q = R$ é Verdadeiro, mas a primeira parte é falsa.
• (B) Incorreta: $P \approx 33.93$, que não é maior que 34 ($P > 34$ é Falso). $Q \neq R$ é Falso ($34 = 34$).
• (C) Incorreta: $P \approx 33.93$, que é menor que 34 ($P < 34$ é Verdadeiro). $Q \neq R$ é Falso ($34 = 34$).
• (D) Correta: $P \approx 33.93$, que é menor que 34 ($P < 34$ é Verdadeiro). $Q = R$ ($34 = 34$) é Verdadeiro. Ambas as condições são satisfeitas. A armadilha aqui é que, se você usasse as fórmulas de interpolação mais precisas para moda e mediana, obteria$Q \approx 33.83$e$R = 33.9$, o que tornaria$Q \neq R$ e, portanto, esta alternativa incorreta. No entanto, a questão espera a aproximação pelo ponto médio da classe.
• (E) Incorreta: $P \approx 33.93$, $Q = 34$, $R = 34$. Os três valores não são iguais.