Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 67)

Para resolver problemas de divisibilidade e resto, primeiro identificamos o número a partir das condições dadas (como soma de algarismos e relações entre eles), e depois realizamos a divisão euclidiana para encontrar o resto.

(A) Incorreta: O resto da divisão de 257 por 13 não é 2. Este valor não corresponde ao resultado da divisão.
(B) Incorreta: O resto da divisão de 257 por 13 não é 5. Este é o algarismo das dezenas do número encontrado, não o resto da divisão.
(C) Incorreta: O resto da divisão de 257 por 13 não é 7. Este é o algarismo das unidades do número encontrado, não o resto da divisão.
(D) Incorreta: O resto da divisão de 257 por 13 não é 8. Este resultado pode surgir de um erro de cálculo na divisão.
(E) Correta: O número procurado é um inteiro positivo ímpar entre 200 e 300, então ele é da forma $2ab$, onde $a$ é o algarismo das dezenas e $b$ o das unidades.

1. A soma dos algarismos é 14: $2 + a + b = 14 \implies a + b = 12$.
2. O número é ímpar, então $b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$.
3. A diferença entre o algarismo das unidades e o das centenas é igual ao algarismo das dezenas: $b - 2 = a$.
   Substituindo a terceira condição na primeira: $(b - 2) + b = 12 \implies 2b - 2 = 12 \implies 2b = 14 \implies b = 7$.
   Agora encontramos $a$: $a = b - 2 = 7 - 2 = 5$.
   O número é 257.
   Para encontrar o resto da divisão de 257 por 13:
   $257 \div 13$. Sabemos que $13 \times 10 = 130$ e $13 \times 20 = 260$.
   Então, o quociente deve ser 19: $13 \times 19 = 13 \times (20 - 1) = 260 - 13 = 247$.
   O resto é $257 - 247 = 10. A **armadilha** mais comum seria um erro de cálculo na divisão final, como subtrair um múltiplo de 13 que é maior que 257 (ex: \260 - 257 = 3$, mas 3 não seria o resto correto, pois o quociente estaria errado), ou simplesmente errar a multiplicação$13 \times 19$.