Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 66)

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é sempre 360°. Ângulos inversamente proporcionais a certos números são diretamente proporcionais aos inversos desses números.

Para resolver, seja $k$ a constante de proporcionalidade. Os ângulos $A, B, C, D$ são inversamente proporcionais a 2, 3, 4 e 6, respectivamente. Isso significa que eles são diretamente proporcionais a $1/2, 1/3, 1/4, 1/6$. Podemos escrever os ângulos como:$A = k/2$$B = k/3$$C = k/4$$D = k/6$

A soma dos ângulos é 360°:
$k/2 + k/3 + k/4 + k/6 = 360°$

Para somar as frações, encontramos o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores (2, 3, 4, 6), que é 12:
$(6k)/12 + (4k)/12 + (3k)/12 + (2k)/12 = 360°$
$(6k + 4k + 3k + 2k)/12 = 360°$
$15k/12 = 360°$

Simplificando a fração $15/12 por 3, obtemos \5/4: \5k/4 = 360°$

Agora, resolvemos para $k$:
$5k = 360° \times 4$
$5k = 1440°$$k = 1440° / 5$$k = 288°$

Com o valor de $k$, calculamos cada ângulo:
$A = 288°/2 = 144°$
$B = 288°/3 = 96°$
$C = 288°/4 = 72°$
$D = 288°/6 = 48°$

O maior ângulo é $144° e o menor ângulo é \48°. A diferença entre o maior e o menor ângulo é: \144° - 48° = 96°$.

(A) Correta: O cálculo dos ângulos (144°, 96°, 72°, 48°) a partir da constante de proporcionalidade $k=288$ e a diferença entre o maior (144°) e o menor (48°) resultam em 96°.
(B) Incorreta: Esta alternativa pode ser um distrator para quem cometeu um erro de cálculo na constante de proporcionalidade $k$. Se $k$ fosse erroneamente calculado como 279 (em vez de 288), a diferença entre o maior e o menor ângulo ($279/2 - 279/6 = 279/3$) seria 93°.
(C) Incorreta: Não há um erro comum que leve a este valor.
(D) Incorreta: Não há um erro comum que leve a este valor.
(E) Incorreta: Não há um erro comum que leve a este valor.