Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 59)

Para encontrar a área de um triângulo no plano cartesiano, podemos usar as coordenadas de seus vértices. Uma forma é calcular a metade do valor absoluto de um determinante (também conhecido como "fórmula do cadarço") formado pelas coordenadas dos pontos. Outra forma, quando um dos lados do triângulo é horizontal ou vertical, é usar a fórmula tradicional de base vezes altura dividido por dois, o que geralmente simplifica o cálculo.

(A) Incorreta: O valor 8 cm² não corresponde ao cálculo correto da área do triângulo com os vértices dados.
(B) Correta: A área do triângulo ABC pode ser calculada de duas maneiras principais.

1. Usando base e altura: Observe que os pontos A(2,2) e B(8,2) têm a mesma coordenada y (y=2), o que significa que o lado AB é horizontal. A base AB mede a distância entre as coordenadas x: $|8 - 2| = 6$ cm. A altura do triângulo em relação a essa base é a distância perpendicular do ponto C(6,5) até a linha y=2, que é a diferença entre as coordenadas y: $|5 - 2| = 3$ cm. A área é $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = \frac{18}{2} = 9$ cm².
2. Usando o determinante (fórmula do cadarço):
   $D = x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)$
   $D = 2(2 - 5) + 8(5 - 2) + 6(2 - 2)$
   $D = 2(-3) + 8(3) + 6(0)$
   $D = -6 + 24 + 0 = 18$
   A área é $\frac{1}{2} |D| = \frac{1}{2} |18| = 9$ cm².
   (C) Incorreta: O valor 12 cm² não é o resultado da área do triângulo ABC.
   (D) Incorreta: O valor 15 cm² não é o resultado da área do triângulo ABC.
   (E) Incorreta: O valor 18 cm² é o valor do determinante $D$ (ou $2 \times \text{área}$) antes de ser dividido por 2. Esta é uma armadilha comum em questões de geometria analítica, onde o estudante calcula corretamente o determinante, mas esquece de aplicar a divisão por dois para obter a área final do triângulo.