Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 58)

Para formar subconjuntos sem elementos consecutivos, transformamos o problema em escolher elementos de um conjunto menor, garantindo que a condição de não-consecutividade seja automaticamente satisfeita. Isso é feito ao considerar que, se $k$ elementos são escolhidos de um conjunto de $n$ elementos de forma que nenhum seja consecutivo, é equivalente a escolher $k$ elementos de um conjunto de $n-k+1$ elementos sem restrições. A fórmula para isso é $\binom{n-k+1}{k}$.

• (A) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado da aplicação correta do princípio combinatório para subconjuntos sem elementos consecutivos.
• (B) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado da aplicação correta do princípio combinatório para subconjuntos sem elementos consecutivos.
• (C) Correta: Para resolver este problema, usamos a fórmula para escolher $k$ elementos não consecutivos de um conjunto de $n$ elementos, que é $\binom{n-k+1}{k}$. No nosso caso, $n=9$ (o número total de elementos no conjunto A) e $k=4$ (o número de elementos em cada subconjunto).
  Aplicando a fórmula, temos:
  $\binom{9-4+1}{4} = \binom{6}{4}$
  Calculando o coeficiente binomial:
  $\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
  Portanto, existem 15 subconjuntos de A com 4 elementos em que não há números inteiros consecutivos. A armadilha da banca pode ser tentar resolver o problema por enumeração manual ou por métodos de inclusão-exclusão, que são mais complexos e propensos a erros de contagem, ou cometer um erro de "off-by-one" na fórmula, levando a um resultado próximo, mas incorreto.
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado da aplicação correta do princípio combinatório para subconjuntos sem elementos consecutivos.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde ao resultado da aplicação correta do princípio combinatório para subconjuntos sem elementos consecutivos.