Questão de Raciocínio Lógico · FGV CMSP 2024 (nº 52)

Em teoria dos conjuntos, um conjunto é uma coleção de elementos. As operações de conjuntos nos permitem combinar ou selecionar elementos: a interseção ($\cap$) representa os elementos que estão em ambos os conjuntos ("e"); a união ($\cup$) representa os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos ("ou"); e o complementar ($\bar{X}$) representa os elementos que não estão no conjunto $X$.

A frase "elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos 𝐴 e 𝐵 mas não pertencem ao conjunto 𝐶" significa que um elemento deve estar em A E em B E não estar em C. Isso se traduz diretamente para a notação $A \cap B \cap \bar{C}$.

(A) Incorreta: $(A \cup B) \cap \bar{C}$ significa "está em A OU em B, E não está em C". Isso não garante que o elemento esteja simultaneamente em A e B.
(B) Incorreta: $(A \cap B) \cup \bar{C}$ significa "está em A E em B, OU não está em C". Isso inclui elementos que não estão em C, mesmo que não estejam em A e B. A armadilha da banca aqui é que "mas não pertencem" indica uma restrição (interseção com o complementar), e não uma alternativa (união).
(C) Correta: $(A \cap \bar{C}) \cap (B \cap \bar{C})$ pode ser simplificado. Usando a propriedade associativa e comutativa da interseção, temos $A \cap B \cap \bar{C} \cap \bar{C}$. Como $\bar{C} \cap \bar{C}$ é simplesmente $\bar{C}$, a expressão se torna $A \cap B \cap \bar{C}$, que é exatamente o que a questão pede: elementos que estão em A, E em B, E não estão em C.
(D) Incorreta: $(A \cap \bar{C}) \cup (B \cap \bar{C})$ é equivalente a $(A \cup B) \cap \bar{C}$ pela propriedade distributiva. É o mesmo que a alternativa A, e não representa a condição desejada.
(E) Incorreta: $(A \cup \bar{C}) \cap (B \cup \bar{C})$ é equivalente a $(A \cap B) \cup \bar{C}$ pela propriedade distributiva. É o mesmo que a alternativa B, e não representa a condição desejada.