Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT7 2024 (nº 14)

Análise Combinatória é a área da matemática que estuda as diferentes maneiras de organizar ou selecionar elementos de um conjunto, levando em conta certas condições. Para resolver este problema, usamos o Princípio Fundamental da Contagem, que diz que se um evento pode ocorrer de $m$ maneiras e, após sua ocorrência, outro evento pode ocorrer de $n$ maneiras, então os dois eventos juntos podem ocorrer de $m \times n$ maneiras. Um algarismo distinto significa que cada algarismo no número deve ser único (ex: 123 tem algarismos distintos, mas 112 não). Um número ímpar tem o último algarismo (unidades) sendo 1, 3, 5, 7 ou 9.

O número deve ser maior que 100 e menor que 300. Isso significa que o número tem 3 algarismos e o algarismo das centenas (o primeiro algarismo) só pode ser 1 ou 2. Vamos analisar por casos:

Caso 1: O algarismo das centenas é 1.
O número é da forma $1YZ$.

1. Algarismo das centenas (X): Só pode ser 1 (1 opção).
2. Algarismo das unidades (Z): Deve ser ímpar e distinto de 1 (o algarismo das centenas). Os algarismos ímpares são {1, 3, 5, 7, 9}. Como o 1 já foi usado, Z pode ser {3, 5, 7, 9} (4 opções).
3. Algarismo das dezenas (Y): Deve ser distinto dos algarismos já usados (1 e Z). Temos 10 algarismos no total ({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}). Como 2 algarismos já foram usados (o 1 e um dos {3, 5, 7, 9}), restam $10 - 2 = 8$opções para Y. Número de possibilidades para o Caso 1:$1 \times 8 \times 4 = 32$.

Caso 2: O algarismo das centenas é 2.
O número é da forma $2YZ$.

1. Algarismo das centenas (X): Só pode ser 2 (1 opção).
2. Algarismo das unidades (Z): Deve ser ímpar e distinto de 2 (o algarismo das centenas). Os algarismos ímpares são {1, 3, 5, 7, 9}. Como 2 não é ímpar, Z pode ser qualquer um desses 5 algarismos ({1, 3, 5, 7, 9}) (5 opções).
3. Algarismo das dezenas (Y): Deve ser distinto dos algarismos já usados (2 e Z). Temos 10 algarismos no total. Como 2 algarismos já foram usados (o 2 e um dos {1, 3, 5, 7, 9}), restam $10 - 2 = 8$opções para Y. Número de possibilidades para o Caso 2:$1 \times 8 \times 5 = 40$.

Total de números:
Somamos as possibilidades dos dois casos: $32 + 40 = 72$.

• (A) Incorreta: Resulta de alguma aplicação incorreta das restrições de algarismos distintos ou do número de opções para as dezenas.
• (B) Incorreta: É um distrator comum que pode surgir se o aluno não aplicar corretamente a condição de "algarismos distintos" para o algarismo das dezenas (Y), permitindo que Y seja igual ao algarismo das unidades (Z) ou das centenas (X) em alguns casos, ou se houver um erro de cálculo na contagem das opções para Y. Por exemplo, se para $X=1$, $Y$ tivesse 9 opções (apenas diferente de $X$) e para $X=2$, $Y$ tivesse 9 opções (apenas diferente de $X$), o resultado seria $1 \times 9 \times 4 + 1 \times 9 \times 5 = 36 + 45 = 81$, que é muito próximo. A armadilha da banca é não garantir que o algarismo das dezenas (Y) seja distinto de ambos os outros algarismos ($X$ e $Z$).
• (C) Incorreta: Corresponde apenas aos números que começam com 1 (Caso 1), ignorando os números que começam com 2.
• (D) Incorreta: Número muito baixo, indicando que muitas restrições foram aplicadas incorretamente ou que apenas uma pequena parte dos casos foi considerada.
• (E) Correta: A soma das possibilidades para os dois casos (algarismo das centenas 1 e algarismo das centenas 2) resulta em 72, conforme o cálculo detalhado.