Questão de Raciocínio Lógico · FCC TRT6 2018 (nº 13)

Um número natural tem exatamente três divisores positivos distintos (números que o dividem sem deixar resto) se, e somente se, ele é o quadrado de um número primo. Por exemplo, $4 = 2^2$ tem os divisores 1, 2, 4; $9 = 3^2$ tem os divisores 1, 3, 9.

(A) Incorreta: Não há combinação de quadrados de números primos que resulte em uma soma de 12. Os quadrados de primos são 4, 9, 25, etc. ($4+9=13, \4+25=29$). **(B) Incorreta:** Não há combinação de quadrados de números primos que resulte em uma soma de 14. **(C) Correta:** A chave para resolver esta questão é saber que um número com exatamente três divisores positivos distintos é sempre o **quadrado de um número primo**. Assim,$x$e$y$devem ser quadrados de números primos. Os primeiros quadrados de primos são$2^2=4$,$3^2=9$,$5^2=25$,$7^2=49$, etc. Precisamos encontrar$x$e$y$tais que$30 < x \cdot y < 40$. Testando as combinações:

• Se $x=4$ e $y=9$, então $x \cdot y = 4 \cdot 9 = 36$. Este produto está entre 30 e 40.
• Se $x=4$ e $y=25$, então $x \cdot y = 4 \cdot 25 = 100$ (fora do intervalo).
• Se $x=9$ e $y=25$, então $x \cdot y = 9 \cdot 25 = 225$ (fora do intervalo).
• Se $x=y$, então $x^2$ deveria estar entre 30 e 40. Nenhum quadrado de primo ($4, 9, 25, 49$) se encaixa nesse intervalo. A única combinação que satisfaz todas as condições é$x=4$e$y=9$(ou vice-versa). Portanto, a soma$x+y = 4+9=13$. A armadilha da banca reside em não conhecer a propriedade fundamental de números com 3 divisores.
  (D) Incorreta: Não há combinação de quadrados de números primos que resulte em uma soma de 16.
  (E) Incorreta: Não há combinação de quadrados de números primos que resulte em uma soma de 19.