Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FCC TRT23 2022 (nº 14)

Conjuntos são grupos de elementos, e o Princípio da Inclusão-Exclusão é uma técnica para contar quantos elementos estão em um ou mais desses grupos, somando os tamanhos dos grupos individuais, subtraindo as sobreposições (elementos em dois grupos), somando as sobreposições de três grupos, e assim por diante, para garantir que cada elemento seja contado apenas uma vez.

Para resolver a questão, vamos usar a fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos:
$N(A \cup B \cup C) = N(A) + N(B) + N(C) - [N(A \cap B) + N(A \cap C) + N(B \cap C)] + N(A \cap B \cap C)$

Dados do problema:

• Total de indústrias pesquisadas ($N_T$) = 30. A frase "Dentre as 30 indústrias pesquisadas" implica que todas as 30 usam pelo menos um dos insumos, ou seja, $N(A \cup B \cup C) = 30$.
• Indústrias que usam insumo tipo A ($N(A)$) = 16.
• Indústrias que usam insumo tipo B ($N(B)$) = 9.
• Indústrias que usam insumo tipo C ($N(C)$) = 8.
• A informação crucial: "elas usam no máximo 2 tipos de insumos". Isso significa que nenhuma indústria usa os três tipos de insumos simultaneamente. Portanto, o número de indústrias que usam A, B e C ($N(A \cap B \cap C)$) é 0.

Queremos encontrar o número de indústrias que usam exatamente dois tipos de insumos.
Quando $N(A \cap B \cap C) = 0$, a soma das interseções de dois conjuntos ($N(A \cap B) + N(A \cap C) + N(B \cap C)$) representa exatamente o número de indústrias que usam dois tipos de insumos (pois não há sobreposição de três tipos para subtrair).
Vamos chamar $X = N(A \cap B) + N(A \cap C) + N(B \cap C)$. Este $X$ é o que a questão pede.

Substituindo os valores na fórmula:
$30 = 16 + 9 + 8 - X + 0 \30 = 33 - X$
Agora, isolamos $X$:
$X = 33 - 30$
$X = 3$

(A) Correta: O número de indústrias que usam exatamente dois tipos de insumos é 3. Conforme calculado, ao aplicar o Princípio da Inclusão-Exclusão e considerar que nenhuma indústria usa os três tipos de insumos ($N(A \cap B \cap C) = 0$), a soma das interseções de pares ($N(A \cap B) + N(A \cap C) + N(B \cap C)$) é 3, que corresponde ao valor procurado. A armadilha da banca seria ignorar a condição "no máximo 2 tipos de insumos", o que tornaria o problema insolúvel com os dados fornecidos, ou interpretar que $N(A \cup B \cup C)$ seria menor que 30.
(B) Incorreta: Esta alternativa não se alinha com o cálculo correto do Princípio da Inclusão-Exclusão.
(C) Incorreta: Esta alternativa não se alinha com o cálculo correto do Princípio da Inclusão-Exclusão.
(D) Incorreta: Esta alternativa não se alinha com o cálculo correto do Princípio da Inclusão-Exclusão.
(E) Incorreta: Esta alternativa não se alinha com o cálculo correto do Princípio da Inclusão-Exclusão.