Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT17 2022 (nº 19)

Este é um problema de lógica de preenchimento de quadriculados (grid filling logic) que envolve fatoração (decomposição de um número em seus fatores primos) e dedução (chegar a conclusões a partir de informações dadas). O conceito chave é usar os produtos fornecidos para identificar as únicas combinações possíveis de três números distintos de 1 a 9 que satisfazem esses produtos, e então usar as intersecções (células que pertencem a mais de uma linha/coluna) para preencher o quadriculado.

Vamos analisar as linhas e colunas com produtos que podem ter fatorações únicas de três números distintos de 1 a 9:

1. Linha 1 (Produto 70): Os números devem ser {2, 5, 7}. Esta é a única combinação de três números distintos de 1 a 9 cujo produto é 70.
2. Coluna 1 (Produto 64): Os números devem ser {2, 4, 8}. Esta é a única combinação de três números distintos de 1 a 9 cujo produto é 64.
3. Coluna 3 (Produto 180): Os números devem ser {4, 5, 9}. Esta é a única combinação de três números distintos de 1 a 9 cujo produto é 180.

Agora, vamos usar as intersecções para preencher as células:

• A célula (1,1) (primeira linha, primeira coluna) deve conter um número que está tanto em {2, 5, 7} (da Linha 1) quanto em {2, 4, 8} (da Coluna 1). O único número comum é 2. Portanto, (1,1) = 2.
• A célula (1,3) (primeira linha, terceira coluna) deve conter um número que está tanto em {2, 5, 7} (da Linha 1) quanto em {4, 5, 9} (da Coluna 3). O único número comum é 5. Portanto, (1,3) = 5.

Com (1,1) = 2 e (1,3) = 5, e sabendo que a Linha 1 deve conter {2, 5, 7}, a célula (1,2) (primeira linha, segunda coluna) deve ser 7.

Agora, vamos verificar a Coluna 2. O produto da Coluna 2 é 108. As células da Coluna 2 são (1,2), (2,2) e (3,2).
Sabemos que (1,2) = 7.
Então, 7 * (2,2) * (3,2) = 108.
Isso significa que (2,2) * (3,2) = 108 / 7.
No entanto, 108 não é divisível por 7 (108 / 7 = 15,42...).

Conclusão: Há uma contradição fundamental nos dados do problema. Com as informações fornecidas e a regra de usar números distintos de 1 a 9, o problema é insolúvel, pois a dedução lógica leva a um número não inteiro para o produto de duas células.

Considerando o gabarito oficial (A) 6:
Se a soma dos números nas células cinzas (1,2) e (2,1) deve ser 6, e o problema fosse solúvel, as únicas combinações possíveis de números distintos de 1 a 9 para essas células seriam {1, 5} ou {2, 4}.

• Se {(1,2), (2,1)} = {1, 5}:
  • Se (1,2) = 1, então (1,1)*(1,3) = 70. As únicas opções de 1 a 9 (excluindo 1 e 5) seriam 7 e 10, mas 10 não está no conjunto. Impossível.
  • Se (1,2) = 5, então (1,1)*(1,3) = 14. As únicas opções de 1 a 9 (excluindo 1 e 5) seriam 2 e 7.
    • Se (1,1) = 2, então (2,1) = 1. C1: 21(3,1) = 64 => (3,1) = 32. Impossível, 32 não está no conjunto.
    • Se (1,1) = 7, então (2,1) = 1. C1: 71(3,1) = 64 => (3,1) = 64/7. Impossível, não é inteiro.
• Se {(1,2), (2,1)} = {2, 4}:
  • Se (1,2) = 2, então (1,1)*(1,3) = 35. As únicas opções de 1 a 9 (excluindo 2 e 4) seriam 5 e 7.
    • Se (1,1) = 5, então (2,1) = 4. C1: 54(3,1) = 64 => (3,1) = 64/20. Impossível, não é inteiro.
    • Se (1,1) = 7, então (2,1) = 4. C1: 74(3,1) = 64 => (3,1) = 64/28. Impossível, não é inteiro.
  • Se (1,2) = 4, então (1,1)*(1,3) = 17.5. Impossível, não é inteiro.

Portanto, não é possível chegar à soma 6 para as células cinzas sem violar as regras do problema ou as fatorações únicas dos produtos fornecidos. A "pegadinha" aqui é que o problema, como apresentado, é matematicamente inconsistente. Um bom professor explicaria essa inconsistência e, se obrigado a seguir um gabarito, apontaria que o problema está falho.

• (A) Correta: A soma dos números que devem ser colocados nos quadradinhos pintados de cinza é 6. No entanto, conforme demonstrado na análise detalhada, o problema apresenta uma inconsistência matemática fundamental. As deduções lógicas baseadas nas fatorações únicas dos produtos de linha e coluna levam a uma contradição (o número 7 na célula (1,2) torna o produto da Coluna 2 impossível). Para que a resposta seja 6, seria necessário que as células cinzas (1,2) e (2,1) contivessem os números {1,5} ou {2,4}. Contudo, todas essas combinações levam a novas contradições com os produtos das linhas e colunas, ou exigem números fora do conjunto 1-9, ou números repetidos, ou resultados não inteiros. Portanto, a única forma de este gabarito ser correto é se houver um erro nos valores dos produtos fornecidos no enunciado do problema.
• (B) Incorreta: Não há uma solução lógica que leve a 9 sem contradizer as regras do problema ou os produtos fornecidos.
• (C) Incorreta: Não há uma solução lógica que leve a 16 sem contradizer as regras do problema ou os produtos fornecidos.
• (D) Incorreta: Não há uma solução lógica que leve a 15 sem contradizer as regras do problema ou os produtos fornecidos.
• (E) Incorreta: Não há uma solução lógica que leve a 12 sem contradizer as regras do problema ou os produtos fornecidos.