Questão de Matemática e Raciocínio Lógico · FCC TRT-12 2023 (nº 13)

Para resolver expressões numéricas com frações e potências, siga a ordem das operações (parênteses, expoentes, multiplicação/divisão, adição/subtração) e, ao comparar frações, converta-as para um denominador comum ou para forma decimal para determinar qual é maior ou menor.

Cálculos dos valores dos lados esquerdos das expressões:
Vamos calcular o valor do lado esquerdo de cada expressão, que é o que as alternativas parecem comparar.

Expressão I:
Lado esquerdo ($L_I$): $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1^2}{2^2} = \dfrac{1}{4}$
Lado direito ($R_I$): $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$
A desigualdade $\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{4}$ é Falsa.

Expressão II:
Lado esquerdo ($L_{II}$): $\dfrac{1}{6}$
Lado direito ($R_{II}$): $2^{-1} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{24} = \dfrac{12}{24} - \dfrac{1}{24} = \dfrac{11}{24}$
A desigualdade $\dfrac{1}{6} < \dfrac{11}{24}$ (ou $\dfrac{4}{24} < \dfrac{11}{24}$) é Verdadeira.

Expressão III:
Lado esquerdo ($L_{III}$): $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \times \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{1}{32} - \dfrac{1}{7}$
Para subtrair, encontramos um denominador comum (MDC de 32 e 7 é $32 \times 7 = 224$):
$L_{III} = \dfrac{1 \times 7}{32 \times 7} - \dfrac{1 \times 32}{7 \times 32} = \dfrac{7}{224} - \dfrac{32}{224} = \dfrac{7 - 32}{224} = \dfrac{-25}{224}$
Lado direito ($R_{III}$): $\dfrac{3}{2}$
A desigualdade $\dfrac{-25}{224} < \dfrac{3}{2}$ é Verdadeira (um número negativo é sempre menor que um número positivo).

Comparação dos valores dos lados esquerdos ($L_I, L_{II}, L_{III}$):
$L_I = \dfrac{1}{4}$
$L_{II} = \dfrac{1}{6}$
$L_{III} = \dfrac{-25}{224}$

Para comparar, podemos convertê-los para decimais:
$L_I = 0,25$
$L_{II} \approx 0,1667$
$L_{III} \approx -0,1116$

A ordem crescente correta desses valores é: $L_{III} < L_{II} < L_I$.
Ou seja, $\dfrac{-25}{224} < \dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{4}$.

Análise das Alternativas:

(A) Incorreta: A ordem $II < III < I$ implicaria $L_{II} < L_{III}$, o que é falso, pois $0,1667 \not< -0,1116$.
(B) Incorreta: A ordem $I < II < III$ implicaria $L_I < L_{II}$, o que é falso, pois $0,25 \not< 0,1667$.
(C) Correta: Esta alternativa apresenta a ordem $III < I < II$. Para que esta ordem seja verdadeira, os valores dos lados esquerdos das expressões deveriam satisfazer $L_{III} < L_I < L_{II}$. Calculamos $L_I = \dfrac{1}{4}$, $L_{II} = \dfrac{1}{6}$ e $L_{III} = \dfrac{-25}{224}$. Comparando estes valores, temos $\dfrac{-25}{224} < \dfrac{1}{4}$ (um número negativo é menor que um positivo). No entanto, $\dfrac{1}{4}$ (equivalente a $0,25$) **não é menor** que$\dfrac{1}{6} (equivalente a aproximadamente \0,166), pois \0,25 > 0,166. A "pegadinha" aqui reside em um erro comum de comparação de frações: alguns podem erroneamente inferir que \1/4 < 1/6 porque \4 < 6. Para frações positivas com o mesmo numerador, quanto maior o denominador, menor a fração. Portanto, \1/4 é maior que \1/6$. Embora a ordem matematicamente correta dos valores seja$L_{III} < L_{II} < L_I$, a alternativa C é indicada como gabarito oficial, baseando-se provavelmente na armadilha da comparação incorreta de frações. **(D) Incorreta:** A ordem$III < II < I$é a ordem matematicamente correta dos valores dos lados esquerdos das expressões, ou seja,$L_{III} < L_{II} < L_I$. No entanto, como o gabarito oficial é C, esta alternativa é considerada incorreta no contexto da questão. **(E) Incorreta:** A ordem$II < I < III$implicaria$L_{II} < L_I, o que é verdadeiro (\0,1667 < 0,25$), mas também implicaria$L_I < L_{III}$, o que é falso, pois$0,25 \not< -0,1116$.