Questão de Raciocínio Lógico · FCC TRF4 2019 (nº 14)

Este problema de raciocínio lógico envolve a representação de números pelos seus algarismos e a manipulação algébrica para encontrar um número com propriedades específicas. A chave é traduzir a descrição do problema em uma equação matemática e usar as restrições dadas para encontrar a solução.

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o número encontrado fosse, por exemplo, 1077 (soma 15), mas 1077 não satisfaz a condição de ser 9 vezes seu inverso.
• (B) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o número encontrado fosse, por exemplo, 1078 (soma 16), mas 1078 não satisfaz a condição de ser 9 vezes seu inverso.
• (C) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o número encontrado fosse, por exemplo, 1079 (soma 17), mas 1079 não satisfaz a condição de ser 9 vezes seu inverso. A armadilha da banca aqui seria um erro de cálculo que levasse a um número próximo, mas incorreto, cuja soma de algarismos fosse 17, fazendo o aluno pensar que está certo.
• (D) Correta: O número de ovos, que chamaremos de $N$, está entre 1000 e 1200, ou seja, $1000 < N < 1200$. Isso significa que$N é um número de 4 algarismos e seu primeiro algarismo é 1. Podemos representá-lo como \1abc$, onde $a$, $b$, e $c$ são os algarismos das centenas, dezenas e unidades, respectivamente. O número lido ao contrário seria $cba1$.
  A condição dada é que o número lido ao contrário é 9 vezes o número original: $cba1 = 9 \times 1abc$.
  Vamos analisar os algarismos:
  1. Algarismo das unidades de $N$ (c): O último algarismo de $9 \times 1abc$ deve ser 1 (o último algarismo de $cba1$). Para que $9 \times c$ termine em 1, $c$ deve ser 9 ($9 \times 9 = 81$).
  2. Então, $N = 1ab9$ e seu inverso é $9ba1$.
  3. A equação se torna: $9ba1 = 9 \times 1ab9$.
  4. Expandindo em termos de valores posicionais:
     $9000 + 100b + 10a + 1 = 9 \times (1000 + 100a + 10b + 9)$
     $9001 + 100b + 10a = 9000 + 900a + 90b + 81 \9001 + 100b + 10a = 9081 + 900a + 90b$
  5. Reorganizando a equação para isolar $a$ e $b$:
     $9001 - 9081 = 900a - 10a + 90b - 100b$
     -80 = 890a - 10b\
  6. Dividindo por 10:
     $-8 = 89a - b$
     b = 89a + 8\
  7. Como $a$ e $b$ são algarismos (entre 0 e 9):
     • Se $a = 0$, então $b = 89 \times 0 + 8 = 8$.
       Isso nos dá $N = 1089$.
       Vamos verificar: $1000 < 1089 < 1200 (correto). Inverso de \1089 é \9801$.$9 \times 1089 = 9 \times (1000 + 80 + 9) = 9000 + 720 + 81 = 9801$. (correto).
     • Se $a = 1$, então $b = 89 \times 1 + 8 = 97$, que não é um algarismo. Portanto, $a$ só pode ser 0.
  8. O número de ovos é $N = 1089$.
  9. A soma dos algarismos de $N$ é $1 + 0 + 8 + 9 = 18$.
• (E) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se o número encontrado fosse, por exemplo, 1099 (soma 19), mas 1099 não satisfaz a condição de ser 9 vezes seu inverso.