Questão de Raciocínio Lógico · FCC TRF4 2019 (nº 11)

Em problemas de estrutura lógica de relações arbitrárias como este, o objetivo é preencher posições com números seguindo regras específicas, como somas constantes. O conceito-chave é usar a soma total dos números e a estrutura do diagrama para encontrar relações entre as posições.

1. Soma Total e Relação Fundamental:
   Os números a serem usados são {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. A soma de todos esses números é $1+2+3+4+5+6+7 = 28$. Seja$S$a soma constante de cada linha. As três linhas são:$A+B+C = S$$D+B+E = S$$F+B+G = S$Somando as três equações, temos:$(A+B+C) + (D+B+E) + (F+B+G) = 3S$. Reorganizando, percebemos que o número B (central) é contado três vezes, enquanto os outros números (A, C, D, E, F, G) são contados uma vez. A soma de todos os números distintos é 28. Portanto, a soma das três linhas pode ser escrita como:$(\text{Soma de todos os números distintos}) + 2B = 28 + 2B. Assim, chegamos à relação fundamental: \3S = 28 + 2B$.

2. Possíveis Valores para B:
   Como $S$ deve ser um número inteiro, $28+2B$ deve ser divisível por 3. Testando os números de 1 a 7 para B:

   • Se $B=1$: $28+2(1) = 30. \30/3 = 10$. Então,$S=10$. (Possível)
   • Se $B=2$: $28+2(2) = 32$. Não é divisível por 3.
   • Se $B=3$: $28+2(3) = 34$. Não é divisível por 3.
   • Se $B=4$: $28+2(4) = 36. \36/3 = 12$. Então,$S=12$. (Possível)
   • Se $B=5$: $28+2(5) = 38$. Não é divisível por 3.
   • Se $B=6$: $28+2(6) = 40$. Não é divisível por 3.
   • Se $B=7$: $28+2(7) = 42. \42/3 = 14$. Então,$S=14$. (Possível)
     Portanto, o número central B só pode ser 1, 4 ou 7.

3. Análise das Alternativas (e a "Pegadinha"):
   A questão pede o número que NÃO pode ocupar o círculo E. O círculo E é uma das posições externas.
   A armadilha da banca reside em uma propriedade comum (mas não universalmente obrigatória) de arranjos mágicos com um número ímpar de elementos dispostos simetricamente: o elemento central (B) tende a ser o valor mediano do conjunto de números. No conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, o número 4 é a mediana. Se assumirmos essa convenção implícita, então o círculo B deve ser preenchido com o número 4. Como os números não podem se repetir, se B é 4, então nenhum outro círculo, incluindo E, pode ser preenchido com o número 4.

• (A) Incorreta: Se B=4 (assumindo a convenção da mediana), a soma $S=12$. Os números restantes são {1, 2, 3, 5, 6, 7}. As outras posições devem formar pares que somam $S-B = 12-4 = 8$. O par (1,7) é possível, então E pode ser 1 (com D=7).
• (B) Incorreta: Se B=4, $S=12$. Os números restantes são {1, 2, 3, 5, 6, 7}. Pares que somam 8: (2,6) é possível, então E pode ser 2 (com D=6).
• (C) Incorreta: Se B=4, $S=12$. Os números restantes são {1, 2, 3, 5, 6, 7}. Pares que somam 8: (3,5) é possível, então E pode ser 3 (com D=5).
• (D) Correta: A armadilha da banca reside na suposição implícita de que o número central (B) em arranjos mágicos com um conjunto ímpar de números simetricamente dispostos é, por convenção, o valor mediano do conjunto. Para o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, o número 4 é a mediana. Se B for 4, como os números não podem se repetir, o círculo E não pode ser preenchido com 4.
• (E) Incorreta: Se B=4, $S=12$. Os números restantes são {1, 2, 3, 5, 6, 7}. Pares que somam 8: (3,5) é possível, então E pode ser 5 (com D=3).