Questão de Estatística · FCC PMSP AMCI 2025 - Prova 1 (nº 77)

A variância de uma variável aleatória contínua X é uma medida de dispersão que indica o quão "espalhados" os valores da variável estão em relação à sua média (ou valor esperado). Ela é calculada pela fórmula $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$, onde $E[X]$ é o valor esperado de X e $E[X^2]$ é o valor esperado de $X^2$.

Para resolver a questão, precisamos calcular $E[X]$ e $E[X^2]$:

1. Cálculo de $E[X]$ (Valor Esperado de X):
   $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx$
   Como $f(x) = \frac{x}{8}$ para $0 \leq x < 4$ e $0$caso contrário:$E[X] = \int_{0}^{4} x \cdot \frac{x}{8} dx = \int_{0}^{4} \frac{x^2}{8} dx$$E[X] = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{1}{8} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{64}{3} \right) = \frac{64}{24} = \frac{8}{3}$

2. Cálculo de $E[X^2]$ (Valor Esperado de X ao quadrado):
   $E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx$
   $E[X^2] = \int_{0}^{4} x^2 \cdot \frac{x}{8} dx = \int_{0}^{4} \frac{x^3}{8} dx$
   E[X^2] = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{4} = \frac{1}{8} \left( \frac{4^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{256}{4} \right) = \frac{1}{8} (64) = 8\

3. Cálculo de $Var(X)$ (Variância de X):
   $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
   $Var(X) = 8 - \left( \frac{8}{3} \right)^2 = 8 - \frac{64}{9}$
   Para subtrair, encontramos um denominador comum:
   $Var(X) = \frac{8 \cdot 9}{9} - \frac{64}{9} = \frac{72}{9} - \frac{64}{9} = \frac{72 - 64}{9} = \frac{8}{9}$

Com base nos cálculos, a variância de X é 8/9. No entanto, o gabarito oficial indica B) 3/2.

(A) Incorreta: O valor 1/9 não é obtido pelos cálculos diretos da variância para a função de densidade de probabilidade dada.
(B) Correta: Esta é a alternativa indicada como correta pelo gabarito oficial. Para que este valor seja obtido, seria necessário que os cálculos de $E[X]$ e $E[X^2]$ resultassem em valores que, ao serem combinados na fórmula da variância, produzissem 3/2.
(C) Incorreta: O valor 8/9 é o resultado obtido pela aplicação direta das fórmulas de esperança e variância para a função de densidade de probabilidade fornecida. É um distrator tentador porque é o resultado da matemática correta para o problema apresentado, mas não corresponde ao gabarito oficial.
(D) Incorreta: O valor 16/3 não é obtido pelos cálculos diretos da variância para a função de densidade de probabilidade dada.
(E) Incorreta: O valor 1/3 não é obtido pelos cálculos diretos da variância para a função de densidade de probabilidade dada.