Questão de Raciocínio Lógico · FCC CMFOR 2019 (nº 28)

O conceito-chave para resolver problemas de conjuntos como este é o Princípio da Inclusão-Exclusão, que nos ajuda a contar elementos em uniões de conjuntos sem contá-los múltiplas vezes. Em um diagrama de Venn com três conjuntos (modalidades esportivas), a soma dos elementos em cada conjunto individualmente superestima o total, pois as interseções (alunos que praticam mais de uma modalidade) são contadas mais de uma vez.

Vamos definir as variáveis:

• $X_1$: número de alunos que treinam exatamente uma modalidade.
• $X_2$: número de alunos que treinam exatamente duas modalidades (o que queremos encontrar).
• $X_3$: número de alunos que treinam exatamente três modalidades.

Dados do problema:

• Total de alunos ($|U|$): 72 (todos participam de pelo menos uma modalidade, então $|U| = X_1 + X_2 + X_3$)
• Alunos que treinam Futebol ($|F|$): 33
• Alunos que treinam Atletismo ($|A|$): 34
• Alunos que treinam Natação ($|N|$): 26
• Alunos que treinam as três modalidades ($X_3$): 4

Podemos usar duas equações fundamentais:

1. A soma dos alunos em cada modalidade individualmente:
   $|F| + |A| + |N| = (X_1 \text{ (uma vez)}) + (X_2 \text{ (duas vezes)}) + (X_3 \text{ (três vezes)})$
   $33 + 34 + 26 = X_1 + 2X_2 + 3X_3$
   $93 = X_1 + 2X_2 + 3(4)$
   $93 = X_1 + 2X_2 + 12$
   $X_1 + 2X_2 = 81$ (Equação 1)

2. O total de alunos, que é a soma dos que treinam exatamente uma, duas ou três modalidades:
   $|U| = X_1 + X_2 + X_3$
   $72 = X_1 + X_2 + 4$
   $X_1 + X_2 = 68$ (Equação 2)

Agora, subtraímos a Equação 2 da Equação 1:
$(X_1 + 2X_2) - (X_1 + X_2) = 81 - 68$
$X_2 = 13$

Portanto, o número de alunos que treinam exatamente duas modalidades é 13.

(A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a um cálculo comum ou a uma etapa intermediária do problema. Muitas vezes, um distrator como este é incluído para testar se o aluno está adivinhando ou não compreende o método.
(B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a um cálculo comum ou a uma etapa intermediária do problema.
(C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a um cálculo comum ou a uma etapa intermediária do problema.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde a um cálculo comum ou a uma etapa intermediária do problema.
(E) Correta: O número de alunos que treinam exatamente duas modalidades é 13, conforme demonstrado pela aplicação do Princípio da Inclusão-Exclusão e pela resolução do sistema de equações. A armadilha mais comum neste tipo de questão é confundir "exatamente duas modalidades" com "pelo menos duas modalidades" (que seria $X_2 + X_3 = 13 + 4 = 17$) ou com a soma das interseções par a par (que seria $S_P = X_2 + 3X_3 = 13 + 3(4) = 25$). Embora 17 e 25 não sejam opções diretas aqui, as alternativas incorretas geralmente resultam de erros na contagem das interseções ou na aplicação incorreta das fórmulas do diagrama de Venn.