Questão de Raciocínio Lógico · FCC CMFOR 2019 (nº 28)

O conceito-chave aqui é o Princípio da Inclusão-Exclusão aplicado a três conjuntos, que nos ajuda a contar elementos em grupos que se sobrepõem. Para resolver, dividimos os alunos em categorias de acordo com o número exato de modalidades que praticam:

• $N_1$: Alunos que treinam exatamente uma modalidade.
• $N_2$: Alunos que treinam exatamente duas modalidades.
• $N_3$: Alunos que treinam exatamente três modalidades.

Sabemos que:

1. O total de alunos é a soma dessas categorias: $N_1 + N_2 + N_3 = 72$.
2. A soma das contagens individuais de cada modalidade ($S_1 = \text{Futebol} + \text{Atletismo} + \text{Natação}$) é dada por: $S_1 = N_1 + 2N_2 + 3N_3$. Isso ocorre porque quem faz uma modalidade é contado uma vez, quem faz duas é contado duas vezes, e quem faz três é contado três vezes.
3. O número de alunos que treinam as três modalidades é $N_3 = 4$.

Vamos aplicar os valores dados:

• $S_1 = 33 (\text{Futebol}) + 34 (\text{Atletismo}) + 26 (\text{Natação}) = 93$.
• $N_3 = 4$.

Agora, montamos um sistema de equações com as informações que temos:

1. N_1 + N_2 + N_3 = 72\
2. $N_1 + 2N_2 + 3N_3 = 93$

Substituímos $N_3 = 4$ nas duas equações:

1. N_1 + N_2 + 4 = 72 \implies N_1 + N_2 = 68\
2. $N_1 + 2N_2 + 3(4) = 93 \implies N_1 + 2N_2 + 12 = 93 \implies N_1 + 2N_2 = 81$

Agora, subtraímos a primeira nova equação da segunda nova equação para encontrar $N_2$:
$(N_1 + 2N_2) - (N_1 + N_2) = 81 - 68$
$N_2 = 13$

Portanto, o número de alunos que treinam exatamente duas modalidades é 13.

(A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto do número de alunos que treinam exatamente duas modalidades, não sendo resultado de uma aplicação válida do Princípio da Inclusão-Exclusão.
(B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto.
(C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto. Uma armadilha comum seria calcular o número de alunos que treinam "pelo menos duas" modalidades, que seria $N_2 + N_3 = 13 + 4 = 17$. No entanto, 19 não se encaixa nem mesmo nessa interpretação errada.
(D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao cálculo correto.
(E) Correta: O cálculo utilizando o sistema de equações derivado do Princípio da Inclusão-Exclusão, onde $N_1 + N_2 + N_3 = \text{Total}$ e $N_1 + 2N_2 + 3N_3 = \text{Soma das contagens individuais}$, resulta em 13 alunos treinando exatamente duas modalidades.