Questão de Raciocínio Lógico · FCC CMFOR 2019 (nº 27)

Para resolver equações com potências (números elevados a um expoente), um método comum é a fatoração, onde colocamos o termo de menor expoente em evidência para simplificar a expressão. Além disso, se tivermos uma igualdade entre potências de bases diferentes e não relacionadas (como $7^A = 8^B$), a única forma de essa igualdade ser verdadeira para expoentes inteiros é se ambos os expoentes forem zero, pois $7^0 = 1$ e $8^0 = 1$.

• (A) Incorreta: O valor de $x+y$ não é 1. Se $x=1$, a equação não se mantém para nenhum inteiro positivo $y$.

• (B) Incorreta: O valor de $x+y$ não é 2. Se tentarmos $x=1$ e $y=1$, a equação $7^1 \cdot 8 = 8^1 \cdot 49$ resultaria em $56 = 392$, o que é falso. Esta alternativa é um distrator para quem tenta "chutar" valores pequenos ou não compreende que a igualdade de potências com bases distintas só é possível se os expoentes forem zero.

• (C) Correta: O valor de $x+y$ é 3. Vamos resolver a equação passo a passo:
  A equação dada é $7^{x+1} + 7^{x} = 8^{y+2} - 15 \cdot 8^{y}$.

  Passo 1: Fatorar o lado esquerdo (LHS).
  $7^{x+1} + 7^{x}$
  Podemos reescrever $7^{x+1}$ como $7^x \cdot 7^1$.
  Então, $7^x \cdot 7 + 7^x$
  Colocando $7^x$ em evidência: $7^x (7 + 1)$
  LHS = $7^x \cdot 8$

  Passo 2: Fatorar o lado direito (RHS).
  $8^{y+2} - 15 \cdot 8^{y}$
  Podemos reescrever $8^{y+2}$ como $8^y \cdot 8^2$.
  Então, $8^y \cdot 8^2 - 15 \cdot 8^y$
  Colocando $8^y$ em evidência: $8^y (8^2 - 15)$
  $8^y (64 - 15)$
  RHS = $8^y \cdot 49$

  Passo 3: Igualar os lados e simplificar.
  Agora temos: $7^x \cdot 8 = 8^y \cdot 49$
  Podemos reescrever 8 como $8^1$ e 49 como $7^2$:
  $7^x \cdot 8^1 = 8^y \cdot 7^2$
  Para agrupar as bases iguais, dividimos ambos os lados por $7^2$ e por $8^1$:
  $\frac{7^x}{7^2} = \frac{8^y}{8^1}$
  Usando a propriedade da divisão de potências de mesma base ($a^m / a^n = a^{m-n}$):
  $7^{x-2} = 8^{y-1}$

  Passo 4: Determinar os valores de x e y.
  Temos uma igualdade entre potências de bases diferentes (7 e 8) que não são potências uma da outra. A única maneira para que $7^{x-2} = 8^{y-1}$ seja verdadeira para expoentes inteiros é se ambos os lados forem iguais a 1. Isso significa que os expoentes devem ser zero:
  $x-2 = 0 \implies x = 2$
  $y-1 = 0 \implies y = 1$
  Verificamos que $x=2$ e $y=1$ são inteiros positivos, conforme a condição do problema.

  Passo 5: Calcular x + y.
  $x + y = 2 + 1 = 3$.

• (D) Incorreta: O valor de $x+y$ não é 4. Isso implicaria em valores de $x$ e $y$ que não satisfazem a equação original.

• (E) Incorreta: O valor de $x+y$ não é 5. Isso implicaria em valores de $x$ e $y$ que não satisfazem a equação original.