Questão de Matemática Financeira e Estatística · FCC BANRISUL 2018 (nº 31)

A questão pede para calcular o número de amostras de 2 elementos que podem ser extraídas de uma população de 6 elementos, primeiro com reposição e depois sem reposição, e então encontrar a diferença absoluta entre esses dois números. O conceito-chave aqui é entender como a reposição (se o elemento volta para a população após ser escolhido) e a ordem (se a sequência dos elementos escolhidos importa) afetam a contagem das possibilidades.

Cálculos:
População $N = 6$ (elementos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$).
Tamanho da amostra $k = 2$.

1. $n_1$ (amostras com reposição): Quando se extrai com reposição, cada elemento escolhido é devolvido, permitindo que seja escolhido novamente. Para contar o "número de amostras possíveis" neste contexto, geralmente se considera que a ordem importa. Assim, (1,2) é diferente de (2,1), e (1,1) é uma amostra válida. O número de amostras ordenadas de $k$ elementos de uma população de $N$ com reposição é $N^k$.
   $n_1 = 6^2 = 36$.

2. $n_2$ (amostras sem reposição): Quando se extrai sem reposição, um elemento escolhido não pode ser escolhido novamente. A "pegadinha" aqui é que, para que o gabarito seja alcançado, deve-se considerar que a ordem NÃO importa para $n_2$. Ou seja, {1,2} é a mesma amostra que {2,1}. O número de amostras não ordenadas (subconjuntos) de $k$ elementos de uma população de $N$ sem reposição é dado pela fórmula de Combinação $C(N, k) = \frac{N!}{k!(N-k)!}$.
   $n_2 = C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

3. Módulo da diferença:
   $|n_1 - n_2| = |36 - 15| = 21$.

(A) Incorreta: O valor 49 não corresponde aos cálculos de $n_1$ ou $n_2$ nem à sua diferença, considerando as interpretações padrão ou a que leva ao gabarito.
(B) Incorreta: O valor 24 não é obtido por nenhuma das combinações de cálculo corretas para $n_1$ e $n_2$.
(C) Incorreta: O valor 26 não é obtido pelos cálculos.
(D) Incorreta: O valor 30 seria o número de amostras ordenadas sem reposição ($P(6,2) = 6 \times 5 = 30$). Se $n_2$ fosse 30 e $n_1$ fosse 36, a diferença seria 6, que não é o gabarito. Este é um distrator tentador para quem aplica a mesma lógica de "ordem importa" para ambos os casos.
(E) Correta: O valor 21 é obtido ao considerar que para $n_1$ (com reposição), a ordem importa ($N^k = 36$), e para $n_2$ (sem reposição), a ordem NÃO importa ($C(N,k) = 15$). A diferença absoluta $|36 - 15| = 21$. A armadilha da banca é a inconsistência na interpretação da "ordem" entre os dois tipos de amostragem, onde "amostra" para "com reposição" implica sequência (ordenada) e para "sem reposição" implica conjunto (não ordenada).