Questão de Estatística · FCC ALAP 2019 (nº 35)

A variância mede o quão espalhados os dados estão em relação à média, enquanto o coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, expressando o desvio padrão como uma porcentagem da média, útil para comparar a variabilidade de conjuntos de dados com médias diferentes. Para calcular a variância de uma população combinada a partir de subgrupos, é preciso considerar a variância dentro de cada grupo e a variância entre as médias dos grupos.

Cálculos:

1. Número de homens e mulheres:

   • Homens: $60\% \times 200 = 120$
   • Mulheres: 40\% \times 200 = 80\

2. Média total:

   • Como a média salarial de homens e mulheres é a mesma (5 mil reais), a média salarial da população total também será 5 mil reais.
   • $\mu_{total} = \frac{(120 \times 5) + (80 \times 5)}{200} = \frac{600 + 400}{200} = \frac{1000}{200} = 5$ mil reais.

3. Desvio padrão e variância para cada grupo:

   • O coeficiente de variação (CV) é $CV = \frac{\text{desvio padrão}}{\text{média}}$. Assim, o desvio padrão é $\text{desvio padrão} = CV \times \text{média}$. A variância é o desvio padrão ao quadrado.
   • Homens:
     • Desvio padrão ($\sigma_H$): $0,30 \times 5 = 1,5$ mil reais
     • Variância ($\sigma^2_H$): $(1,5)^2 = 2,25$ mil reais ao quadrado
   • Mulheres:
     • Desvio padrão ($\sigma_M$): $0,20 \times 5 = 1,0$ mil reais
     • Variância ($\sigma^2_M$): $(1,0)^2 = 1,00$ mil reais ao quadrado

4. Variância total (combinada):

   • A fórmula da variância total para grupos é $\sigma^2_{total} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} N_i (\sigma_i^2 + (\mu_i - \mu_{total})^2)$.
   • Como as médias dos grupos são iguais à média total ($\mu_H = \mu_M = \mu_{total} = 5$), o termo $(\mu_i - \mu_{total})^2$ é zero para ambos os grupos.
   • A fórmula se simplifica para a média ponderada das variâncias dos grupos: $\sigma^2_{total} = \frac{(N_H \times \sigma^2_H) + (N_M \times \sigma^2_M)}{N_H + N_M}$.
   • $\sigma^2_{total} = \frac{(120 \times 2,25) + (80 \times 1,00)}{120 + 80}$
   • $\sigma^2_{total} = \frac{270 + 80}{200}$
   • $\sigma^2_{total} = \frac{350}{200} = 1,75$ mil reais ao quadrado.

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria obtida se, por engano, você calculasse a média ponderada dos desvios padrão dos grupos ($\frac{120 \times 1,5 + 80 \times 1,0}{200} = 1,3$) e, em seguida, elevasse esse resultado ao quadrado ($1,3^2 = 1,69$). A variância não pode ser calculada dessa forma; é necessário calcular a variância de cada grupo primeiro e depois usar a fórmula da variância total.
• (B) Correta: O cálculo da variância total, considerando a média ponderada das variâncias de cada grupo (pois as médias dos grupos são iguais, eliminando a variância entre grupos), resulta em 1,75 mil reais ao quadrado, conforme demonstrado nos cálculos acima.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto.
• (D) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao resultado correto.