Questão nº 164
Questão de Matemática · INEP ENEM 2025 (nº 164)
O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:
1º – partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;
2º – partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.
No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:
1º – partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;
2º – partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.
A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.
O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.
Considere 0,64 como aproximação para cos 50°.
A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,
- A135 e 7 horas e 15 minutos. (alternativa correta)
- B45 e 7 horas e 15 minutos.
- C135 e 12 horas.
- D135 e 6 horas.
- E45 e 6 horas.
Resposta comentada
Gabarito Alternativa A
Lei dos cossenos resolve triângulos quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles: . Aqui, o erro de direção (340° em vez de 110°) cria uma diferença angular de 130° entre os deslocamentos, e é isso que muda tudo.
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(A) Correta: Os deslocamentos têm módulos $4v e \2v$. Na rota executada, o ângulo entre e é $130° (pois 340° e 90° diferem de 250°, cujo suplemento é 110°... na verdade o ângulo interno no triângulo é \50°, pois \130°\cos 50° = 0{,}64PT^2 = (4v)^2 + (2v)^2 - 2(4v)(2v)(0{,}64) = 16v^2 + 4v^2 - 10{,}24v^2 = 9{,}76v^2PT = 3{,}2vTR$ resulta em 135° e o tempo total é 7h15min (7,25 h), confirmando o gabarito.
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(B) Incorreta: A direção 45° apontaria para o lado oposto ao destino; o ângulo correto entre a rota de retorno e o norte é 135°, não 45°.
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(C) Incorreta: O tempo de 12 horas superestima o percurso; a distância é bem menor que isso, resultando em cerca de 7h15min.
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(D) Incorreta: 6 horas é insuficiente; o cálculo com leva a aproximadamente 7,25 h, não 6 h.
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(E) Incorreta: Combina dois erros: direção 45° (errada) e tempo 6 h (errado); é a armadilha de quem confunde o ângulo externo com o interno e arredonda o tempo para baixo.
Fonte: INEP ENEM 2025 (Caderno Azul). Reproduzida para fins de estudo.