Questão de Matemática · CESGRANRIO BB 01/2021/001 (nº 18)

Conceito-chave: Duas funções exponenciais diferentes podem representar o mesmo problema se forem equivalentes, ou seja, se uma puder ser reescrita como a outra usando propriedades de potências e logaritmos. Para comparar, precisamos colocar ambas na mesma base ou igualar os expoentes após simplificar.

• (A) Incorreta: $\ln 2$ daria $k \approx 0,693$, mas ao igualar $1000e^{kx} = 10^{2x+3}$, vemos que $k$ precisa ser $\ln 100$, pois $10^{2x+3} = 10^3 \cdot 10^{2x} = 1000 \cdot 100^x = 1000 \cdot e^{x \ln 100}$.
• (B) Incorreta: $\ln 3$ é um valor menor que $\ln 100$ e não satisfaz a igualdade dos expoentes quando reescrevemos $10^{2x}$ como $e^{2x \ln 10}$.
• (C) Incorreta: $\ln 10$ seria o valor de $k$ se a função fosse $b(x) = 10^{x+3}$, mas aqui o expoente é $2x+3$, o que dobra o coeficiente do$x$ no logaritmo.
• (D) Incorreta: $\ln 30$ não aparece em nenhuma simplificação correta; a pegadinha é tentar somar $2 e \3$no expoente, mas o correto é separar$10^{2x+3} = 10^3 \cdot (10^2)^x = 1000 \cdot 100^x$.
• (E) Correta: Igualando $a(x)=b(x)$, temos $1000e^{kx} = 10^{2x+3} = 10^3 \cdot 10^{2x} = 1000 \cdot (10^2)^x = 1000 \cdot 100^x$. Cancelando $1000$, sobra$e^{kx} = 100^x$, então$kx = x \ln 100$, logo$k = \ln 100$. A armadilha da banca é o aluno esquecer que$10^{2x} = (10^2)^x = 100^x$, e não$10 \cdot 10^x$; por isso muitos escolhem$\ln 10$ou$\ln 30$.