Questão de Matemática Financeira e Estatística · CEBRASPE SEFAZ-RN 2025 - P2 Conhecimentos Complementares (nº 51)

Conceito-chave: A variância da soma de variáveis aleatórias depende das variâncias individuais e das covariâncias entre elas. A correlação é a covariância padronizada, então, com a variância da soma e as correlações conhecidas, podemos isolar a correlação que falta.

• (A) Incorreta: Se a correlação entre B e C fosse 1,0, a variância de A+B+C seria maior que 13, pois a covariância total seria muito alta (dado que Var(B)=4 e Var(C)=9, o máximo de Cov(B,C) seria 6, mas o valor necessário para fechar a equação é negativo).
• (B) Incorreta: Se a correlação entre B e C fosse 0,5, a covariância entre B e C seria $0,5 \times 2 \times 3 = 3$, o que, somado às outras covariâncias ($0,5 \times 1 \times 2 = 1$ e $0,5 \times 1 \times 3 = 1,5$), daria uma variância total de $1+4+9+2(1+1,5+3) = 25$, bem maior que 13.
• (C) Incorreta: Se a correlação fosse 0, a covariância entre B e C seria zero, e a variância total seria $1+4+9+2(1+1,5+0) = 18$, ainda maior que 13.
• (D) Incorreta: Se a correlação fosse -0,25, a covariância seria $-0,25 \times 2 \times 3 = -1,5$, resultando em variância total $1+4+9+2(1+1,5-1,5) = 16$, que não bate com 13.
• (E) Correta: Usando a fórmula $Var(A+B+C) = Var(A)+Var(B)+Var(C) + 2[Cov(A,B)+Cov(A,C)+Cov(B,C)]$, temos $13 = 1+4+9 + 2[1 + 1,5 + Cov(B,C)]. Logo, \13 = 14 + 2[2,5 + Cov(B,C)], então \2,5 + Cov(B,C) = -0,5$, o que dá$Cov(B,C) = -3$. A correlação é$\rho_{BC} = \frac{-3}{2 \times 3} = -0,5$.

Armadilha do distrator mais tentador (B): A banca coloca 0,5 porque o aluno assume que, se A correlaciona 0,5 com B e 0,5 com C, então B e C também teriam 0,5. Isso ignora que a variância da soma impõe uma restrição matemática: as correlações não podem ser todas positivas se a soma das variâncias é menor que a soma das variâncias individuais (aqui, 13 < 14). O aluno que não escreve a fórmula da variância da soma cai na "simetria intuitiva" que não existe.