Questão de Engenharia Elétrica · FGV TJ-SE Servidor 2023 (nº 66)

O conceito-chave é que um detector de fumaça tem uma área de cobertura circular. Quando sua capacidade é descrita para cobrir uma área quadrada, isso significa que o raio de alcance do detector é suficiente para cobrir todos os pontos dentro desse quadrado, assumindo que o detector está no centro.

Passo a passo para a solução:

1. Determine o lado do ambiente quadrado: A área do ambiente quadrado é de 81 m². O lado ($L$) de um quadrado é a raiz quadrada de sua área, então $L = \sqrt{81 \text{ m}^2} = 9$ m.
2. Determine o raio de cobertura do detector: Para que um detector posicionado no centro de um quadrado de lado $L$ cubra toda a área, seu raio de alcance ($R$) deve ser, no mínimo, a distância do centro até um dos cantos do quadrado. Essa distância é metade da diagonal do quadrado. A diagonal ($D$) de um quadrado de lado $L$ é $L\sqrt{2}$.
   Portanto, o raio de cobertura é $R = \frac{D}{2} = \frac{L\sqrt{2}}{2}$.
3. Calcule o raio com o valor do lado: Substituindo $L=9$ m, temos $R = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ m.
4. Calcule a área de cobertura circular: A área de um círculo ($A_c$) é dada pela fórmula $A_c = \pi R^2$.
   $A_c = \pi \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{81 \times 2}{4}\right) = \pi \left(\frac{162}{4}\right) = \pi \left(\frac{81}{2}\right) = 40.5\pi$ m².

O valor calculado é $40.5\pi$ m². Entre as alternativas fornecidas, $41\pi$ é a mais próxima de $40.5\pi$.

(A) Incorreta: $17\pi \approx 53.4$ m². Este valor é significativamente menor que o raio de cobertura calculado e não corresponde a nenhuma interpretação comum da relação entre as áreas.
(B) Incorreta: $26\pi \approx 81.68$ m². Armadilha da banca: Esta alternativa é muito tentadora para o aluno que, erroneamente, assume que a área do ambiente circular deve ser numericamente igual à área do ambiente quadrado (81 m²). Se $A_c = 81$, então $R^2 = 81/\pi$. Como $81/\pi \approx 25.78$, a alternativa $26\pi$ seria a mais próxima. No entanto, essa premissa está incorreta; a capacidade do detector é definida pelo seu raio de cobertura, não pela igualdade numérica das áreas.
(C) Incorreta: $32\pi \approx 100.5$ m². Este valor é menor que o calculado e não se alinha com a lógica geométrica correta.
(D) Incorreta: $37\pi \approx 116.2$ m². Embora mais próxima que as anteriores, ainda não é a alternativa que melhor representa o valor calculado de $40.5\pi$.
(E) Correta: $41\pi \approx 128.8$ m². O cálculo correto para a área de cobertura circular é $40.5\pi$ m². Como $40.5\pi$ não é uma das opções, $41\pi$ é a alternativa mais próxima e, portanto, a resposta esperada em uma questão de múltipla escolha.