Questão de Engenharia Civil · FGV TJ-SE Servidor 2023 (nº 43)

O conceito-chave para resolver este problema é a análise de vigas contínuas, que envolve determinar os momentos fletores e reações de apoio em estruturas indeterminadas. Para isso, são utilizados métodos como a Equação dos Três Momentos (também conhecida como Teorema de Clapeyron) ou o Método das Deformações/Inclinações (Slope-Deflection Method), que consideram a compatibilidade das rotações e o equilíbrio dos momentos nos apoios. A interpretação correta dos tipos de apoio (fixo, simples ou engastado) é crucial.

Assumindo que o apoio A é um engaste (momento $M_A \neq 0$ e rotação $\theta_A = 0$) e o apoio C é um apoio simples (momento $M_C = 0$), e que a viga está sujeita a uma carga uniformemente distribuída $q = 10$ kN/m em ambos os vãos, com $L_{AB} = 4$ m e $L_{BC} = 3$ m.

Utilizando a Equação dos Três Momentos na forma geral:
$M_A L_1 + 2 M_B (L_1 + L_2) + M_C L_2 = - \frac{q_1 L_1^3}{4} - \frac{q_2 L_2^3}{4}$

Substituindo os valores:
$M_A (4) + 2 M_B (4 + 3) + M_C (3) = - \frac{10 \times 4^3}{4} - \frac{10 \times 3^3}{4}$
$4 M_A + 14 M_B + 3 M_C = - \frac{10 \times 64}{4} - \frac{10 \times 27}{4}$
$4 M_A + 14 M_B + 3 M_C = -160 - 67.5$
$4 M_A + 14 M_B + 3 M_C = -227.5$ (Equação 1)

Considerando as condições de contorno:

1. Apoio C é simples: $M_C = 0$.
2. Apoio A é engaste: A condição para engaste em A na Equação dos Três Momentos é $2 M_A L_1 + M_B L_1 = - \frac{q_1 L_1^3}{4}$, ou $2 M_A + M_B = - \frac{q_1 L_1^2}{4}$.
   $2 M_A + M_B = - \frac{10 \times 4^2}{4} = - \frac{10 \times 16}{4} = -40$ (Equação 2)

Agora, resolvemos o sistema de equações com $M_C = 0$:

1. 4 M_A + 14 M_B = -227.5\
2. $2 M_A + M_B = -40 \implies M_B = -40 - 2 M_A$

Substituindo (2) em (1):
$4 M_A + 14 (-40 - 2 M_A) = -227.5$
$4 M_A - 560 - 28 M_A = -227.5$
$-24 M_A = -227.5 + 560$
$-24 M_A = 332.5$
$M_A = -\frac{332.5}{24} \approx -13.85$ kN.m

Substituindo $M_A$ de volta na Equação 2:
$M_B = -40 - 2 (-13.85416...) = -40 + 27.70833... \approx -12.29$ kN.m

Portanto, pelos métodos padrão de análise estrutural (Equação dos Três Momentos ou Método das Deformações), os momentos seriam aproximadamente $M_A = -13.85$ kN.m e $M_B = -12.29$ kN.m. No entanto, esses valores não correspondem a nenhuma das alternativas.

Dado o gabarito oficial, é provável que o problema utilize uma interpretação diferente das condições de apoio ou uma formulação específica que leva aos valores da alternativa B. Sem essa formulação específica, não é possível chegar ao gabarito usando os métodos padrão.

• (A) Incorreta: Os valores calculados pelos métodos padrão não correspondem a esta alternativa.
• (B) Correta: Embora os cálculos pelos métodos padrão (Equação dos Três Momentos ou Slope-Deflection, assumindo apoio A engastado e C simples) resultem em $M_A \approx -13.85$ kN.m e $M_B \approx -12.29$ kN.m, o gabarito oficial indica esta alternativa. A discrepância sugere uma interpretação não-padrão das condições de contorno ou da formulação utilizada no problema. Se assumirmos que os valores do gabarito são corretos, então $M_A = -19,75$ kN.m e $M_B = -8,5$ kN.m.
• (C) Incorreta: Os momentos fletores em apoios intermediários de vigas contínuas sob carga distribuída para baixo são geralmente negativos (causando compressão na parte inferior e tração na superior da viga, ou "hogging"). Momentos positivos indicariam tração na parte inferior ("sagging").
• (D) Incorreta: Os valores calculados pelos métodos padrão não correspondem a esta alternativa.
• (E) Incorreta: Os valores calculados pelos métodos padrão não correspondem a esta alternativa.