Questão de Auditoria de Obras de Edificações · FGV TCE-PI 2021 (nº 83)

A tensão normal de flexão é a força interna por unidade de área que surge em um material quando ele é curvado (flexionado), sendo máxima nas fibras mais afastadas do eixo neutro (a linha dentro da viga que não sofre alongamento nem encurtamento). Ela é calculada pela fórmula $\sigma = \frac{M \cdot y}{I}$, onde $M$ é o momento fletor, $y$ é a distância do eixo neutro à fibra analisada e $I$ é o momento de inércia da seção transversal.

Para a viga dada:

• Carga ($P$) = 20 kN = $20 \times 10^3$ N
• Vão ($L$) = 4 m
• Base da seção ($b$) = 15 cm = 0.15 m
• Altura da seção ($h$) = 40 cm = 0.40 m

1. Momento Fletor Máximo ($M_{max}$): Para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada no centro, $M_{max} = \frac{P \cdot L}{4}$.
   M_{max} = \frac{(20 \times 10^3 \text{ N}) \cdot (4 \text{ m})}{4} = 20 \times 10^3 \text{ N} \cdot \text{m}\

2. Momento de Inércia ($I$): Para uma seção retangular, $I = \frac{b \cdot h^3}{12}$.
   I = \frac{(0.15 \text{ m}) \cdot (0.40 \text{ m})^3}{12} = \frac{0.15 \cdot 0.064}{12} \text{ m}^4 = 0.0008 \text{ m}^4\

3. Distância à fibra mais extrema ($y_{max}$): Para uma seção retangular, $y_{max} = \frac{h}{2}$.
   y_{max} = \frac{0.40 \text{ m}}{2} = 0.20 \text{ m}\

4. Tensão Normal Máxima ($\sigma_{max}$): $\sigma_{max} = \frac{M_{max} \cdot y_{max}}{I}$.
   $\sigma_{max} = \frac{(20 \times 10^3 \text{ N} \cdot \text{m}) \cdot (0.20 \text{ m})}{0.0008 \text{ m}^4} = \frac{4 \times 10^3}{0.0008} \text{ N/m}^2 = 5 \times 10^6 \text{ N/m}^2$
   Como $1 \text{ N/m}^2 = 1 \text{ Pa}$, temos $\sigma_{max} = 5 \times 10^6 \text{ Pa} = 5 \text{ MPa}$.

Observação: O cálculo com os dados fornecidos resulta em 5 MPa. Para que o resultado fosse 10 GPa, a carga P teria que ser $40 \text{ MN}$ (40.000 kN), o que é 2.000 vezes maior que a carga de 20 kN indicada na figura. Isso sugere um erro significativo na carga fornecida ou nas unidades da resposta esperada. No entanto, seguindo o gabarito oficial, a explicação deve levar ao valor de 10 GPa.

Para obter 10 GPa:
$\sigma_{max} = 10 \text{ GPa} = 10 \times 10^9 \text{ Pa} = 10 \times 10^9 \text{ N/m}^2$.
$M_{max} = \frac{\sigma_{max} \cdot I}{y_{max}} = \frac{(10 \times 10^9 \text{ N/m}^2) \cdot (0.0008 \text{ m}^4)}{0.20 \text{ m}} = \frac{8 \times 10^6}{0.20} \text{ N} \cdot \text{m} = 40 \times 10^6 \text{ N} \cdot \text{m} = 40 \text{ MN} \cdot \text{m}$.
Para que $M_{max} = 40 \text{ MN} \cdot \text{m}$, a carga $P$ deveria ser:
$P = \frac{4 \cdot M_{max}}{L} = \frac{4 \cdot (40 \times 10^6 \text{ N} \cdot \text{m})}{4 \text{ m}} = 40 \times 10^6 \text{ N} = 40 \text{ MN}$.

Portanto, a resposta de 10 GPa é obtida se a carga aplicada fosse 40 MN, e não 20 kN como indicado.

(A) Incorreta: O valor de 5,00 GPa seria obtido se a carga fosse 20 MN (20.000 kN), e não 20 kN.
(B) Incorreta: Este valor não é obtido com os dados fornecidos nem com as possíveis correções de unidade mais comuns.
(C) Correta: Embora o cálculo direto com os dados fornecidos (P=20 kN) resulte em 5 MPa, para que a tensão máxima seja de 10,00 GPa, a carga aplicada na viga deveria ser de 40 MN (40.000 kN). A armadilha da banca reside na discrepância entre a carga fornecida (20 kN) e o gabarito, que só seria alcançado com uma carga 2.000 vezes maior (40 MN), indicando um provável erro de digitação na questão.
(D) Incorreta: Este valor não é obtido com os dados fornecidos nem com as possíveis correções de unidade mais comuns.
(E) Incorreta: Este valor não é obtido com os dados fornecidos nem com as possíveis correções de unidade mais comuns.