Questão de Auditoria de Obras de Edificações · FGV TCE-PI 2021 (nº 80)

O conceito-chave para resolver problemas de treliças é que as barras são idealizadas como elementos que suportam apenas esforços normais, ou seja, são submetidas a tração (força que "estica" a barra, considerada positiva) ou compressão (força que "aperta" a barra, considerada negativa). Para encontrar esses esforços, utiliza-se o Método das Seções ou o Método dos Nós, aplicando as equações de equilíbrio estático ($\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M = 0$).

Cálculo das Reações de Apoio:
Primeiro, calculamos as reações nos apoios A (pino) e D (rolo).

• $\sum M_A = 0$: (sentido anti-horário positivo)
  $30 \text{ kN} \times 2\text{ m} + 30 \text{ kN} \times 4\text{ m} - R_{Dy} \times 6\text{ m} = 0$
  $60 + 120 - 6 R_{Dy} = 0 \Rightarrow 180 = 6 R_{Dy} \Rightarrow R_{Dy} = 30 \text{ kN}$ (para cima).
• $\sum F_y = 0$: (para cima positivo)
  $R_{Ay} - 30 \text{ kN} - 30 \text{ kN} + R_{Dy} = 0$
  $R_{Ay} - 60 + 30 = 0 \Rightarrow R_{Ay} = 30 \text{ kN}$ (para cima).
• $\sum F_x = 0$: $R_{Ax} = 0$.

Cálculo do Esforço na barra EF ($F_{EF}$):
Utilizamos o Método das Seções, cortando a treliça pelas barras BC, FC e EF. Consideramos a seção à direita (nós C, D, F, E). Tomamos o somatório dos momentos em relação ao nó C (sentido anti-horário positivo). As forças $F_{BC}$, $F_{FC}$ e $P_2$ passam por C, então seus momentos são zero.

• $R_{Dy}$ (30 kN para cima no nó D) cria um momento anti-horário em relação a C: $30 \text{ kN} \times 2\text{ m} = 60 \text{ kNm}$.
• $F_{EF}$ (assumimos tração, puxando F para a esquerda) cria um momento anti-horário em relação a C: $F_{EF} \times 2\text{ m}$.
• $\sum M_C = 0 \Rightarrow 60 + 2 F_{EF} = 0 \Rightarrow 2 F_{EF} = -60 \Rightarrow F_{EF} = -30 \text{ kN}$ (compressão).

Cálculo do Esforço na barra BC ($F_{BC}$):
Utilizamos a mesma seção (cortando BC, FC e EF). Consideramos a seção à esquerda (nós A, B, E, F). Tomamos o somatório dos momentos em relação ao nó F (sentido anti-horário positivo). As forças $F_{EF}$ e $F_{FC}$ passam por F, então seus momentos são zero.

• $R_{Ay}$ (30 kN para cima no nó A) cria um momento anti-horário em relação a F: $30 \text{ kN} \times 4\text{ m} = 120 \text{ kNm}$.
• $P_1$ (30 kN para baixo no nó B) cria um momento horário em relação a F: $30 \text{ kN} \times 2\text{ m} = 60 \text{ kNm}$ (portanto, $-60 \text{ kNm}$).
• $F_{BC}$ (assumimos tração, puxando B para a direita) cria um momento horário em relação a F: $F_{BC} \times 2\text{ m}$ (portanto, $-2 F_{BC}$).
• $\sum M_F = 0 \Rightarrow 120 - 60 - 2 F_{BC} = 0 \Rightarrow 60 - 2 F_{BC} = 0 \Rightarrow 2 F_{BC} = 60 \Rightarrow F_{BC} = 30 \text{ kN}$ (tração).

Com os dados fornecidos na figura, os esforços calculados são $F_{EF} = -30 \text{ kN}$ e $F_{BC} = 30 \text{ kN}$.

Alternativas:
A) Incorreta: Os valores calculados para as barras EF e BC são diferentes.
B) Incorreta: Os valores calculados para as barras EF e BC são diferentes.
C) Correta: De acordo com o gabarito oficial. No entanto, com os dados fornecidos na figura (cargas de 30 kN e dimensões de 2 m), os cálculos resultam em $F_{EF} = -30$ kN (compressão) e $F_{BC} = 30$ kN (tração). Para que os valores do gabarito ($F_{EF} = -20$ kN e $F_{BC} = 25$ kN) fossem obtidos, as cargas ou as dimensões da treliça teriam que ser diferentes das apresentadas. Por exemplo, se as cargas $P_1$ e $P_2$ fossem 20 kN, teríamos $F_{EF} = -20$ kN e $F_{BC} = 20$ kN. A "armadilha da banca" aqui é que a questão pode conter dados inconsistentes com o gabarito.
D) Incorreta: Os valores calculados para as barras EF e BC são diferentes.
E) Incorreta: Os valores calculados para as barras EF e BC são diferentes.